Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Sei X = ℙ₁ × ℙ₁. In homogenen Koordinaten (z, ζ) = ([z₀, z₁], [ζ₀, ζ₁]) seien \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\ A:=A^{\prime} :=N({{\mathbb{P}}}_{1};z)\times {{\mathbb{P}}}_{1},\space \text{und}\\ U:=U^{\prime} :=\{(z,\zeta )\in X;{z}_{0}=1\}.\end{array}\end{eqnarray}

Für m ∈ ℕ ist die Abbildung \begin{eqnarray}{\varphi }_{m}:U\backslash A\to U^{\prime} \backslash A^{\prime}, \space \space (z,\zeta )\mapsto \left(z\left[{\zeta }_{0}{z}_{1}^{m},{\zeta }_{1}{z}_{0}^{m}\right]\right)\end{eqnarray} biholomorph. Daher ist \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{m}:=(X\backslash A){\cup }_{{\varphi }_{m}}U^{\prime} \end{eqnarray} eine nichtsinguläre kompakte Mannigfaltigkeit. Für gerades m ist ∑_m homöomorph zu ∑₀ = ℙ₁ × ℙ₁, und für ungerades m homöomorph zu ∑₁ (durch Berechnung der Schnittzahlen beweist man, daß ∑₀ und ∑₁ nicht homöomorph sind). Für l ≠ m sind die Hirzebruch-Flächen ∑_l und ∑_m nicht biholomorph äquivalent.

Es gelten die folgenden Aussagen:

a) Die Projektion pr₁ : ∑_m → ℙ₁ auf die erste Komponente ist eine eigentliche holomorphe Submersion mit den Fasern ℙ₁.

b) \({{\rm{\Sigma }}}_{m}\cong \{([{x}_{0},{x}_{1},{x}_{2}],\space \space [{y}_{0},{y}_{1}])\in {{\mathbb{P}}}_{2}\times {{\mathbb{P}}}_{1};{x}_{1}{y}_{0}^{m}={x}_{2}{y}_{0}^{m}\}\hookrightarrow {{\mathbb{P}}}_{2}\times {{\mathbb{P}}}_{1}\).

c) \({{\rm{\Sigma }}}_{1}\hookrightarrow {{\mathbb{P}}}_{2}\times {{\mathbb{P}}}_{1}\mathop{\to }\limits^{pr_{1}}{{\mathbb{P}}}_{2}\) ist interpretierbar als quadratische Transformation von ℙ₂ an der Stelle [1, 0, 0].

[1] Kaup, B.; Kaup, L.: Holomorphic Functions of Several Variables. Walter de Gruyter Berlin New York, 1983.