nicht-offensichtliche Verbindungen zwischen den Operatoren auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit mit einer Kähler-Metrik.

Sei M eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit mit einer Hermiteschen Metrik \begin{eqnarray}d{s}^{2}=\displaystyle \sum _{i,j}{h}_{ij}(z)\space d{z}_{i}\otimes d{\bar{z}}_{j}\end{eqnarray} und einer zugehörigen (1, 1)-Form \(\omega =-\frac{1}{2}\) Im ds². Auf dem Raum A* (M) der Differentialformen auf M sind eine Reihe von Operatoren definiert, wie z. B. ∂, \(\bar{\partial }\), \(d=\partial +\bar{\partial }\), \({d}^{c}=\sqrt{\frac{-1}{4\pi }(\bar{\partial }-\partial )}\) und die zugehörigen Adjungierten und Laplaceschen, und die Zerlegungen von A* (M) nach Typ und Grad. Sei zusätzlich der Operator \begin{eqnarray}L:{A}^{p,q}(M)\to {A}^{p+1,q+1}(M)\end{eqnarray} definiert durch L (η) = η ∧ ω, und sei \({\rm{\Lambda }}={L}^{* }:{A}^{p,q}(M)\to {A}^{p-1,q-1}(M)\) der adjungierte Operator von L. Für allgemeines M gibt es keine nicht-offensichtlichen Verbindungen zwischen diesen Operatoren. Wenn die Metrik auf M aber eine Kähler-Metrik ist, dann gibt es eine ganze Anzahl von Identitäten, die sie verbinden, die Hodge-Identitäten. Die Haupt-Identität, aus der man alle anderen leicht folgern kann, ist die folgende: \begin{eqnarray}[{\rm{\Lambda }},d]=-4\pi {d}^{c\ast },\end{eqnarray} wobei [A, B] den Kommutator AB − BA bezeichne, oder äquivalent [L, d*] = 4πd^c.

[1] Griffiths,P.; Harris, J.: Principles of Algebraic Geometry. Pure & Applied Mathematics John Wiley & Sons New York Toronto, 1978.