ein endlich-dimensionaler Vektorraum H_ℚ über ℚ mit einer aufsteigenden Filtration W („Gewichtsfiltration“) \begin{eqnarray}\ldots {W}_{k}\subseteq {W}_{k+1}\subseteq \ldots \end{eqnarray} und einer absteigenden Filtration F („Hodge-Filtration“) auf H_ℂ = H_ℚ ⊗ ℂ \begin{eqnarray}\ldots {F}^{p}\subseteq {F}^{p-1}\subseteq \ldots \end{eqnarray} so, daß für alle l die Filtration F eine Hodge-Struktur vom Gewicht l auf \(G{r}_{l}^{W}({H}_{{\mathbb{Q}}})={W}_{l}/{W}_{l-1}\) induziert. Dann zerfällt H_ℂ in H_ℂ = ⊕I^p,q so, daß \begin{eqnarray}{W}_{l}\otimes {\mathbb{C}}=\displaystyle \sum _{p+1\le l}{H}^{p,q}\space \space \text{und}\space {F}^{p}=\displaystyle \sum _{a\ge p}{I}^{a,b}.\end{eqnarray}

Es gilt allerdings im allgemeinen nicht, daß I^q,p konjugiert ist zu I^p,q. Das wichtigste Beispiel ist, daß die Kohomologie H^k(X, ℚ) von quasiprojektiven algebraischen Varietäten über ℂ eine gemischte Hodge-Struktur besitzt, die funktoriell von X abhängt. Die Hodge-Zahlen h^p,q sind höchstens im Bereich \begin{eqnarray}\max \space \space (0,k-n)\le p,q\le n=\dim X\end{eqnarray} von Null verschieden.

WennX glatt ist, ist W_k−1H^k(X, ℚ) = 0, und wenn X projektiv ist, dann ist W_kH^k(X, ℚ) = H^k(X, ℚ), so-daß man also im Falle glatter projektiver Varietäten die übliche (reine) Hodge-Struktur erhält.