fundamentaler Begriff in der Funktionentheorie auf Bereichen im ℂⁿ. Eine Funktion \(f\in {\mathscr{O}}(X)\) (Algebra der holomorphen Funktionen auf X) heißt holomorph fortsetzbar (von einem Punkt a ∈ X) auf einen Polyzylinder P (a; ϱ), wenn ihre Taylorreihe \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{v\in {{\mathbb{N}}}^{n}}\frac{({D}^{v}f)(a)}{v!}{(z-a)}^{v}\end{eqnarray} auf P (a; ϱ) konvergiert; sie heißt holomorph fortsetzbar in einen Punkt y ∈ ℂⁿ\X, wenn für ein a ∈ X, der Punkt y in einem Polyzylinder P (a; ϱ) liegt, auf den f holomorph fortsetzbar ist.

Wenn eine Funktion \(f\in {\mathscr{O}}(X)\) holomorph fortsetzbar von einem Punkt a ∈ X auf P = P (a; ϱ) ist, impliziert dies nicht notwendig, daß f holomorph fortsetzbar auf X ∪ P ist, weil die Fortsetzung von dem Punkt a abhängig sein kann (z. B. im Fall \(f=\surd \cdot \in ({{\mathbb{C}}}^{* }\backslash {{\mathbb{R}}}_{\lt 0})\)). Es gilt aber die folgende Aussage: Wenn X ∩ P zusammenhängend ist, dann ist f genau dann holomorph fortsetzbar auf P, wenn f holomorph fortsetzbar auf X ∪ P ist.