eine in einer offenen Menge D ⊂ ℂ definierte Funktion f: D → ℂ, die in jedem Punkt von Dkomplex differenzierbar ist.

Man nennt f holomorph am Punkt z₀ ∈ D, falls f in einer offenen Umgebung U ⊂ D von z₀ holomorph ist. Ist E eine beliebige Teilmenge von D, so heißt f holomorph auf E, falls es eine offene Menge V ⊂ D mit E ⊂ V gibt derart, daß f in V holomorph ist. Falls \(D\subset \hat{{\mathbb{C}}}\) und ∞ ∈ D, so heißt f holomorph an ∞, falls es eine in einer offenen Umgebung W von 0 holomorphe Funktion g gibt mit g(z) = f (1/z) für z ∈ W. Die Menge aller in D holomorphen Funktionen bezeichnet man mit \({\mathscr{O}}(D)\) oder H(D). Man vergleiche hierzu auch das Stichwort Algebra der holomorphen Funktionen. Für den mehrdimensionalen Fall vergleiche man holomorphe Abbildung in ℂⁿ.

Es gibt Funktionen f, die in einzelnen Punkten komplex differenzierbar, aber nirgends holomorph sind. Zum Beispiel ist die Funktion f (z) = |z|² an z₀ = 0 komplex differenzierbar mit f′(0) = 0. Sie ist aber an keinem Punkt z₀ ≠ 0 komplex differenzierbar und somit nirgends holomorph.

Der folgende Satz liefert mit Hilfe der Cauchy- Riemann-Gleichungen ein wichtiges Holomorphie- kriterium.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und f = u + iv: D → ℂ eine Funktion. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. Es ist f holomorph in D.
2. Die Funktionen u, v sind in D reell differenzierbar, und für die partiellen Ableitungen gelten in D die Differentialgleichungen (Cauchy-Riemann-Gleichungen) \begin{eqnarray}{u}_{x}={v}_{y},\space \space {u}_{y}=-{v}_{x}.\end{eqnarray}

Die Differenzierbarkeitsvoraussetzung in (b) läßt sich noch wesentlich abschwächen. Siehe dazu den Satz von Looman-Menchoff.