spezielle Bifurkation. Man betrachte z. B. ein Hamilton-System mit kleinen periodischen Störungen der Periode τ: \begin{eqnarray}\dot{x}=S\space \space \text{grad}\space H(\overrightarrow{x})+\chi g(\overrightarrow{x},t,\chi ),\end{eqnarray}\(\overrightarrow{x},g\varepsilon {{\mathbb{R}}}^{2}\), mit einem kleinen Störparameter χ → +0, der ungestörten Hamilton-Funktion \(H(\overrightarrow{x})\) im ungestörten System und der Zeit t. Sei \begin{eqnarray}g(\overrightarrow{x},t+\tau, \chi )=g(\overrightarrow{x},t,\chi ).\end{eqnarray}

Das ungestörte Problem (χ = 0) besitzt einen Sattelpunkt p₀, der durch eine homokline Trajektorie \({q}_{0}=\{{\overrightarrow{x}}_{0}(t)\}\) mit sich selbst verbunden ist. Der Schnitt zweier Mannigfaltigkeiten der Sattelpunkte einer solchen flächenerhaltenden Abbildung entspricht dem Aufbrechen der Sattelverbindung und damit einer globalen homoklinen Bifurkation. Ein solche Schnitt entspricht einer einfachen Nullstelle der Melnikow-Funktion. Die Melnikow-Funktion ist ein integrales Maß für den Abstand der stabilen und der instabilen Mannigfaltigkeit der Poincaré-Karten des entsprechenen dynamischen Systems. Eine Variation des Parameters χ führt zum Berühren der Mannigfaltigkeiten, eine weitere Änderung von χ zum Schnitt dieser Kurven und damit zu endlich vielen Schnittpunkten, was man als Auftreten eines chaotischen Wirrwarrs bezeichnet. Die Existenz der Nullstellen der Melnikow-Funktion stellt ein notwendiges Kriterium für das Aufteten von Chaos über homokline Bifurkationen dar.