Lexikon der Mathematik: homokliner Punkt
Begriff im Kontext Bifurkation.
Sei x0 ∈ M Fixpunkt eines Flusses (M, ℝ, Φ). Jeder Punkt x im Schnitt der stabilen Mannigfaltigkeit des Fixpunktes x0, Ws(x0) und der instabilen Mannigfaltigkeit des Fixpunktes x1, Wu(x0), x ∈ Ws(x0) ∩ Wu(x0) mit x ≠ x0 heißt homokliner Punkt. Ein Orbit \({\mathscr{O}}\subset M\) heißt homokliner Orbit, falls er durch einen homoklinen Punkt x ∈ M erzeugt wird, d. h. falls gilt \({\mathscr{O}}\text{=}{\mathscr{O}}(x)\).
Für einen homoklinen Punkt x ∈ Ws(x0) ∩ Wu(x0) gilt \({\mathrm{lim}}_{t\to \pm \infty }{\rm{\Phi }}(x,\space t)={x}_{0}\). Der homokline Orbit \({\mathscr{O}}(x)\) „kommt aus der unendlichen Vergangenheit“ vom Fixpunkt x0 und „verschwindet in der unendlichen Zukunft“ wieder im gleichen Fixpunkt x0 (vgl. auch heterokliner Punkt).
Homokliner Orbit
[1] Guckenheimer, J.; Holmes, Ph.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag New York, 1983.
[1] Guckenheimer, J.; Holmes, Ph.: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer-Verlag New York, 1983.
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