Lexikon der Mathematik: Hopf-Rinow, Satz von
besagt die Äquivalenz der geodätischen und der metrischen Vollständigkeit Riemannscher Räume.
Auf einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit M mit positiv definiter Metrik sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:
- M ist als metrischer Raum vollständig.
- M istgeodätisch vollständig.
- Jede beschränkte und abgeschlossene Teilmenge von M ist kompakt.
Aus jeder dieser Aussagen folgt, daß je zwei Punkte x, y ∈ M durch eine Geodätische verbunden werden können, deren Länge gleich dem Abstand von x und y ist.
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