Lexikon der Mathematik: Hopfsche Mannigfaltigkeit
Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.
Es sei ϱ > 1 eine reelle Zahl. ΓH ≔ {ϱk : k ∈ ℤ} ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen. Zwei Elemente ζ1, ζ2 ∈ ℂn \ {0} sollen äquivalent genannt werden, wenn es ein ϱk ∈ ΓH mit ζ2 = ϱkζ1 gibt. Die Menge H aller Äquivalenzklassen werde mit der feinsten Topologie versehen, für die die kanonische Projektion πH : ℂn \ {0} → H stetig ist. Komplexe Koordinatensysteme für H erhält man folgendermaßen: Es sei
H ist eine kompakte n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, die „Hopfsche Mannigfaltigkeit“, und πH : ℂn \ {0} → H ist holomorph.
Für ζ1, ζ2 ∈ ℂn \ {0} gilt: Ist πH(ζ1) = πH(ζ2), so gibt es ein k ∈ ℤ mit ζ2 = ϱkζ1. Dann ist aber [ζ2] = [ζ1]. Durch h(πH(ζ)) ≔ [ζ] wird also eine Abbildung h : H → ℙn− 1 definiert. Man erhält das folgende kommutative Diagramm:
Da πH lokal biholomorph ist, folgt, daß h holomorph ist.
[1] Grauert, H.; Fritzsche, K.: Einführung in die Funktionentheorie mehrer Veränderlicher. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1974.
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