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Lexikon der Mathematik: Hopfsche Mannigfaltigkeit

Beispiel einer komplexen Mannigfaltigkeit.

Es sei ϱ > 1 eine reelle Zahl. ΓH ≔ {ϱk : k ∈ ℤ} ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe der positiven reellen Zahlen. Zwei Elemente ζ1, ζ2 ∈ ℂn \ {0} sollen äquivalent genannt werden, wenn es ein ϱk ∈ ΓH mit ζ2 = ϱkζ1 gibt. Die Menge H aller Äquivalenzklassen werde mit der feinsten Topologie versehen, für die die kanonische Projektion πH : ℂn \ {0} → H stetig ist. Komplexe Koordinatensysteme für H erhält man folgendermaßen: Es sei \begin{eqnarray}{F}_{r}:=\{\zeta \in {{\mathbb{C}}}^{n}\backslash \{0\}:r\lt \Vert \zeta \Vert \lt \varrho r\},\end{eqnarray} für beliebige reelle Zahlen r > 0. Dann ist \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\cup }\limits_{r\in {{\rm{{\mathbb{R}}}}}_{\gt 0}}{F}_{r}={{\mathbb{C}}}^{n}\backslash \{0\},\end{eqnarray} und man kann zeigen, daß \begin{eqnarray}{\pi }_{H}|{F}_{r}:{F}_{r}\to {U}_{r}:=\pi ({F}_{r})\subset H\end{eqnarray} ein Homöomorphismus ist, wobei π : ℂn \{0} → ℙn−1 mit π(ζ) ≔ [ζ] die natürliche Projektion bezeichne. (Ur, ϕr) mit ϕr ≔ (πH | Fr)−1 ist also eine komplexe Karte. Es gilt der folgende Satz:

H ist eine kompakte n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, die „Hopfsche Mannigfaltigkeit“, und πH : ℂn \ {0} → H ist holomorph.

Für ζ1, ζ2 ∈ ℂn \ {0} gilt: Ist πH1) = πH2), so gibt es ein k ∈ ℤ mit ζ2 = ϱkζ1. Dann ist aber [ζ2] = [ζ1]. Durch h(πH(ζ)) ≔ [ζ] wird also eine Abbildung h : H → ℙn− 1 definiert. Man erhält das folgende kommutative Diagramm: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcc}{{\mathbb{C}}}^{n}\backslash \{0\} & \mathop{\to }\limits^{\pi } & {{\mathbb{P}}}^{n-1}\\ {\pi }_{H}\searrow & & \nearrow h\\ & H & \end{array}\end{eqnarray}

Da πH lokal biholomorph ist, folgt, daß h holomorph ist.

[1] Grauert, H.; Fritzsche, K.: Einführung in die Funktionentheorie mehrer Veränderlicher. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1974.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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