Aussage über die Approximierbarkeit irrationaler Zahlen durch Brüche.

Zu einer beliebigen irrationalen Zahl ξ ∈ ℝ \ ℚ gibt es unendlich viele rationale Zahlen\begin{eqnarray}\frac{p}{q}\in {\mathbb{Q}}\end{eqnarray}mit der Eigenschaft\begin{eqnarray}\left|\frac{p}{q}-\xi \right|\lt \frac{1}{{q}^{2}\sqrt{5}}.\end{eqnarray}

Die Konstante\begin{eqnarray}\sqrt{5}\end{eqnarray}ist in folgendem Sinn die bestmögliche: Bezeichne\begin{eqnarray}\phi =\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\end{eqnarray}dengoldenen Schnitt, so hat zu jedem \begin{eqnarray}A\gt \sqrt{5}\end{eqnarray}die Ungleichung\begin{eqnarray}\left|\frac{p}{q}-\phi \right|\lt \frac{1}{A{q}^{2}}\end{eqnarray}nur endlich viele rationale Lösungen\begin{eqnarray}{\scriptstyle \frac{p}{q}}\end{eqnarray}.