lautet:

Es sei G ∈ ℂ einGebiet und (f_n) eine Folge von in Gholomorphen Funktionen, die in G kompakt konvergent gegen f ist. Weiter sei U eine beschränkte, offene Menge mit \begin{eqnarray}\overline{U}\subset G\end{eqnarray}derart, daß f keine Nullstelle auf dem Rand ∂U besitzt.

Dann gibt es einen Index n_U ∈ ℕ derart, daß die Funktionen f und f_n mit n ≥ n_U in\begin{eqnarray}\overline{U}\end{eqnarray}gleich viele Nullstellen besitzen, wobei dieNullstellenordnung zu berücksichtigen ist, d. h. \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{w\in \overline{U}}o(f,w)=\displaystyle \sum _{w\in \overline{U}}o({f}_{n},w),\quad n\ge {n}_{U}.\end{eqnarray}

Als Folgerung ergibt sich folgender Satz.

Es sei G ∈ ℂ ein Gebiet und (f_n) eine Folge von in G holomorphen Funktionen, die in G kompakt konvergent gegen f ist. Weiter besitze keine der Funktionen f_n eine Nullstelle in G.

Dann ist entweder f (z) ≡ 0, oder f besitzt keine Nullstelle in G.

Der Fall, daß f (z) = 0, kann tatsächlich vorkommen. Dies zeigt das Beispiel G = ℂ \{0} und f_n (z) = z/n.