hyperbolische Funktionen, zusammenfassende Bezeichnung für die hyperbolische Sinusfunktion sinh, die hyperbolische Cosinusfunktion cosh, die hyperbolische Tangensfunktion tanh und ihre Kehrwertfunktionen, die hyperbolische Cosekansfunktion csch, die hyperbolische Sekansfunktion sech und die hyperbolische Cotangensfunktion coth.

Die zugehörigen Umkehrfunktionen sind die Areasinusfunktion arsinh, die Areacosinusfunktion arcosh, die Areatangensfunktion artanh, die Areacosekansfunktion arcsch, die Areasekansfunktion arsech und die Areacotangensfunktion arcoth.

Die Bezeichnung „Hyperbelfunktionen“ kommt daher, daß mit a, b > 0 durch x = a cosh t, y = b sinh t für t ∈ ℝ der rechte Ast der durch \begin{eqnarray}{x}^{2}/{a}^{2}-{y}^{2}/{b}^{2}=1\end{eqnarray} gegebenen Hyperbel beschrieben wird. Dies erkennt man etwa an der aus den Additionstheoremen \begin{eqnarray}\cosh (w+z)=\cosh w\cosh z+\sinh w\sinh z,\\ \sinh (w+z)=\sinh w\cosh z+\cosh w\sinh z\end{eqnarray} folgenden Beziehung \begin{eqnarray}{\cosh }^{2}z-{\sinh }^{2}z=1.\end{eqnarray}

Die Hyperbelfunktionen sind eng verwandt mit den trigonometrischen Funktionen, wie man bei Betrachtung der in die komplexe Ebene fortgesetzten Funktionen sieht. Es gilt z. B. sinh iz = i sin z und cosh iz = cos z für z ∈ ℂ. Mit den Hyperbelfunktionen läßt sich die Zerlegung der trigonometrischen Funktionen in Real- und Imaginärteil bequem angeben. So gilt für x, y ∈ ℝ: \begin{eqnarray}\sin (x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,\\ \cos (x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.\end{eqnarray}

Die (ins Komplexe fortgesetzten) Funktionen cosh und sinh sind ganz transzendente Funktionen und haben die Periode 2πi. Sie haben einfache Nullstellen, und zwar \begin{eqnarray}z={z}_{k}=(k+\frac{1}{2})\pi i\end{eqnarray} bzw. z = w_k = kπi. k ∈ ℤ.

Die Funktionen tanh und coth sind in C meromorphe Funktionen mit einfachen Nullstellen an z = w_k bzw. z = z_k und einfachen Polstellen an z = z_k bzw. z = w_k, k ∈ ℤ. Für die Residuen gilt Res (tanh, z_k) = Res (coth, w_k) = 1, und für die Ableitungen erhält man \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\tanh ^{\prime} z=\frac{1}{{\cosh }^{2}z}=1-{\tanh }^{2}z,\\ \coth ^{\prime} z=-\frac{1}{{\sinh }^{2}z}=1-{\coth }^{2}z.\end{array}\end{eqnarray}

Beide Funktionen sind periodisch mit der Periode πi.

Die Funktionen sinh, cosh und tanh hängen wie folgt zusammen: \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{\sinh }^{2} & = & {\cosh }^{2}-1=\frac{{\tanh }^{2}}{1-{\tanh }^{2}},\\ {\cosh }^{2} & = & 1+{\sinh }^{2}=\frac{1}{1-{\tanh }^{2}},\\ {\tanh }^{2} & = & \frac{{\sinh }^{2}}{1+{\sinh }^{2}}=\frac{{\cosh }^{2}-1}{{\cosh }^{2}}.\end{array}\end{eqnarray}

Hieraus erhält man auch entsprechende Formeln für die Kehrwertfunktionen.