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Lexikon der Mathematik: hyperbolische lineare Abbildung

eine lineare Abbildung A : ℝn → ℝn, die keine Eigenwerte λ mit |λ| = 1 besitzt.

Für eine lineare Abbildung B : ℝn → ℝn, die nicht 0 als Eigenwert besitzt, ist eB hyperbolisch<?PageNum _462 (Matrix-Exponentialfunktion). Für ein solches B hat die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung \begin{eqnarray}\mathop{x}\limits^{.}=Bx\end{eqnarray} bei 0 einen hyperbolischen Fixpunkt.

Für Eigenwerte λ ∈ ℝ von A bezeichne Eλ den zugehörigen (verallgemeinerten) Eigenraum bzw. für Eigenwerte λ ∈ ℂ bezeichne \begin{eqnarray}{E}_{\lambda, \bar{\lambda }}:=({E}_{\lambda }\oplus {E}_{\bar{\lambda }})\cap {{\mathbb{R}}}^{n}\end{eqnarray}, wobei dann Eλ bzw. \begin{eqnarray}{E}_{\bar{\lambda }}\end{eqnarray} die verallgemeinerten Eigenräume der Komplexifizierung von A seien. Man nennt die unter A invarianten Teilräume \begin{eqnarray}{E}^{-}:={\oplus }_{|\lambda |\lt 1}{E}_{{\rm{\Lambda }}}\oplus {\oplus }_{|\lambda |\lt 1}{E}_{\lambda, \bar{\lambda }},\\ {E}^{+}:={\oplus }_{|\lambda |\gt 1}{E}_{{\rm{\Lambda }}}\oplus {\oplus }_{|\lambda |\gt 1}{E}_{\lambda, \bar{\lambda }},\\ {E}^{0}:={E}_{-1}\oplus {E}_{+1}\oplus {\oplus }_{|\lambda |=1}{E}_{\lambda, \bar{\lambda }}\end{eqnarray} den stabilen, instabilen, bzw. Zentrumsraum von ℝn bzgl. A. Damit hat man die direkte Zerlegung \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{{\mathbb{R}}}^{n}={E}^{0}\oplus {E}^{+}\oplus {E}^{-}.\end{array}\end{eqnarray}

Die Räume E+ und E heißen expandierender bzw. kontrahierender Unterraum. Es gilt:

Sei A : ℝn → ℝnhyperbolische lineare Abbildung mit der zugehörigen direkten Zerlegung in invariante Teilräume (1). Dann gilt:

  1. Für xE+ist\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray}. Ist zusätzlich A invertierbar, so gilt\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=0\end{eqnarray}.
  2. Für xEist\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=0\end{eqnarray}. Ist zusätzlich A invertierbar, so ist\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray}.
  3. Für x ∈ ℝn \ (E+E) ist\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray}. Ist zusätzlich A invertierbar, so ist\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray}.
  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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