Lexikon der Mathematik: hyperbolische lineare Abbildung
eine lineare Abbildung A : ℝn → ℝn, die keine Eigenwerte λ mit |λ| = 1 besitzt.
Für eine lineare Abbildung B : ℝn → ℝn, die nicht 0 als Eigenwert besitzt, ist eB hyperbolisch<?PageNum _462 (Matrix-Exponentialfunktion). Für ein solches B hat die Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
Für Eigenwerte λ ∈ ℝ von A bezeichne Eλ den zugehörigen (verallgemeinerten) Eigenraum bzw. für Eigenwerte λ ∈ ℂ bezeichne
Die Räume E+ und E− heißen expandierender bzw. kontrahierender Unterraum. Es gilt:
Sei A : ℝn → ℝnhyperbolische lineare Abbildung mit der zugehörigen direkten Zerlegung in invariante Teilräume (1). Dann gilt:
- Für x ∈ E+ist
\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray} . Ist zusätzlich A invertierbar, so gilt\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=0\end{eqnarray} . - Für x ∈ E−ist
\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=0\end{eqnarray} . Ist zusätzlich A invertierbar, so ist\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray} . - Für x ∈ ℝn \ (E+ ⊕ E−) ist
\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to \infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray} . Ist zusätzlich A invertierbar, so ist\begin{eqnarray}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{k\to -\infty }{A}^{k}x=\infty \end{eqnarray} .
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