eine Metrik der offenen Einheitskreisscheibe \begin{eqnarray}{\mathbb{E}}\end{eqnarray}, definiert durch \begin{eqnarray}{[a,b]}_{{\mathbb{E}}}:=\mathop{\inf }\limits_{\gamma }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }{\lambda }_{{\mathbb{E}}}(z)|dz|,\quad a,b\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray}

Dabei ist \begin{eqnarray}{\lambda }_{{\mathbb{E}}}(z):=\frac{1}{1-|{z}^{2}|},\quad z\in {\mathbb{E}},\end{eqnarray} und das Infimum wird über alle rektifizierbaren Wege γ in \begin{eqnarray}{\mathbb{E}}\end{eqnarray}, die a und b verbinden, genommen. Man bezeichnet diese Metrik auch als nichteuklidische Metrik oder Poincarésche Metrik.

Die hyperbolische Metrik auf \begin{eqnarray}{\mathbb{E}}\end{eqnarray} ist tatsächlich eine Metrik im üblichen Sinne. Die Funktion λ heist auch Poincarésche Dichte. Es gilt die explizite Formel \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{[a,b]}_{{\mathbb{E}}} & = & \frac{1}{2}\mathrm{log}\frac{|1-\bar{a}b|+|a-b|}{|1-\bar{a}b|-|a-b|}\\ & = & \text{artanh}|\frac{a-b}{1-\bar{a}b}|,\quad a,b\in {\mathbb{E}}.\end{array}\end{eqnarray}

Manche Autoren verwenden statt \begin{eqnarray}{\lambda }_{{\mathbb{E}}}\end{eqnarray} auch die Dichte \begin{eqnarray}\lambda (z):=\frac{2}{1-|z{|}^{2}},\quad z\in {\mathbb{E}}.\end{eqnarray}

Allgemeiner kann man die hyperbolische Metrik für ein beliebiges GebietG ⊂ ℂ mit mindestens zwei Randpunkten in ℂ definieren. Nach dem sog. Uniformisierungssatz existiert eine universelle Überlagerungsabbildung f von \begin{eqnarray}{\mathbb{E}}\end{eqnarray} auf G. Dann definiert man eine Funktion λ_G : G → (0, ∞) durch \begin{eqnarray}{\lambda }_{G}(z)|f^{\prime} (w)|={\lambda }_{{\mathbb{E}}}(w),\end{eqnarray} wobei z = f (w). Schließlich setzt man \begin{eqnarray}{[a,b]}_{G}:=\mathop{\inf }\limits_{\gamma }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }{\lambda }_{G}(z)|dz|,\quad a,b\in G,\end{eqnarray} wobei das Infimum wieder über alle rektifizierbaren Wege γ in G, die a und b verbinden, genommen wird.

Diese Definition ist unabhängig von der speziellen Wahl der universellen Überlagerungsabbildung f. Ist G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, so ist f eine konforme Abbildung von \begin{eqnarray}{\mathbb{E}}\end{eqnarray} auf G. Die hyperbolische Metrik ist eine spezielle konforme Metrik.

Einige Beispiele:

1. Für die obere Halbebene ℍ = {z ∈ ℂ : Im z > 0} gilt \begin{eqnarray}{\lambda }_{{\mathbb{H}}}(z)=\frac{1}{2\mathrm{Im}z}.\end{eqnarray}
2. Für den Horizontalstreifen \begin{eqnarray}S=\left\{z\in {\mathbb{C}}:|\mathrm{Im}z|\lt \frac{\pi }{2}\right\}\end{eqnarray} gilt \begin{eqnarray}{\lambda }_{S}(z)=\frac{1}{2\cos \mathrm{Im}z}.\end{eqnarray}
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3. Für den Kreisring A = {z ∈ ℂ : 0 < r< |z| < 1} gilt \begin{eqnarray}{\lambda }_{A}(z)=\frac{\pi }{2\mathrm{log}r}\cdot \frac{1}{|z|\sin \left(\pi \frac{\mathrm{log}|z|}{\mathrm{log}r}\right)}.\end{eqnarray}

Durch Grenzübergang r → 0 ergibt sich für den punktierten Einheitskreis \begin{eqnarray}\mathop{{\mathbb{E}}}\limits^{.}={\mathbb{E}}\text{}\text{{0}}\end{eqnarray}\begin{eqnarray}{\lambda }_{\dot{{\mathbb{E}}}}(z)=-\frac{1}{2|z|\mathrm{log}|z|}.\end{eqnarray}

Die hyperbolische Metrik spiegelt die geometrischen Eigenschaften des Gebietes G wieder.

Eine wichtige Eigenschaft ist ihre konforme Invarianz. Ist nämlich g eine konforme Abbildung von G auf sich, so gilt \begin{eqnarray}{[g(a),g(b)]}_{G}={[a,b]}_{G},\quad a,b\in G.\end{eqnarray}

Die Dichtefunktion λ_G erfüllt die partielle Differentialgleichung \begin{eqnarray}{\rm{\Delta }}\,\mathrm{log}{\lambda }_{G}=4{\lambda }_{G}^{2}\end{eqnarray}.

Weiter gilt die Monotonieeigenschaft λ_H (z) ≤ λ_G (z) für alle Gebiete G, H mit G ⊂ H und alle z ∈ G. Schließlich gilt \begin{eqnarray}{\lambda }_{G}(z)\le \frac{1}{\text{dist}(z,\partial G)}\end{eqnarray} für alle z ∈ G, wobei hier \begin{eqnarray}\text{dist}(z,\partial G)=\inf \{|z-w|:w\in \partial G\}\end{eqnarray} der Abstand von z zum Rand ∂G von G ist.

Ist G einfach zusammenhängend, so gilt noch \begin{eqnarray}{\lambda }_{G}(z)\ge \frac{1}{\text{4}\text{dist}(z,\partial G)}\end{eqnarray} für alle z ∈ G.