Tangens hyperbolicus, eine der Hyperbelfunktionen, nämlich die durch \begin{eqnarray}\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}\end{eqnarray} für x ∈ ℝ definierte ungerade und differenzierbare Funktion \begin{eqnarray}\tanh :{\mathbb{R}}\to (-1,1).\end{eqnarray}

Es gilt \begin{eqnarray}\tanh ^{\prime} =\frac{1}{{\cosh }^{2}}=1-{\tanh }^{2}.\end{eqnarray} tanh erfüllt für x, y ∈ ℝ die Additions- und Summentheoreme \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\tanh (x\pm y) & = & \frac{\tanh x\pm \tanh y}{1+\tanh x\tanh y}\\ \tanh x\pm \tanh y & = & \frac{\sinh (x\pm y)}{\cosh x\cosh y}\end{array}\end{eqnarray}<?PageNum _465 sowie die Verdopplungs- und Halbierungsformeln: \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}\tanh 2x & = & \frac{2\tanh x}{{\tanh }^{2}x+1}\\ {\tanh }^{2}\frac{x}{2} & = & \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}\\ \tanh \frac{x}{2} & = & \frac{\sinh x}{\cosh x+1}\end{array}\end{eqnarray}

Für \begin{eqnarray}|x|\lt \frac{\pi }{2}\end{eqnarray} hat man die Reihendarstellung \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}\tanh x & = & \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{2n}({2}^{2n}-1)}{(2n)!}{B}_{2n}{x}^{2n-1}\\ & = & x-\frac{1}{3}{x}^{3}+\frac{2}{15}{x}^{5}-\frac{17}{315}{x}^{7}\pm \cdots \end{array}\end{eqnarray} mit den Bernoullischen ZahlenB_2n.

Setzt man die Hyperbelfunktionen und die trigonometrischen Funktionen in die komplexe Ebene fort, so gilt tanh iz = i tan z für z ∈ ℂ. Insbesondere ist \begin{eqnarray}\tanh :{\mathbb{C}}\backslash \{(k+\frac{1}{2})\pi i|k\in {\mathbb{Z}}\}\to {\mathbb{C}}\end{eqnarray}πi-periodisch. Alle obigen Formeln gelten auch für komplexe Argumente.