durch eine Gleichung der Form \begin{eqnarray}F(x,f(x))=0\end{eqnarray} definierte Funktion f.

Der Satz über implizite Funktionen nennt hinreichende Bedingungen für die Existenz von f:

Seien X ⊂ ℝ^pund Y ⊂ ℝ^qnicht-leere offene Mengen, x₀ ∈ X, y₀ ∈ Y, und sei F : X × Y → ℝ^qstetig differenzierbar mit F(x₀, y₀) = 0. Ist dann die Matrix\begin{eqnarray}\frac{\partial F}{\partial y}({x}_{0},{y}_{0})=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial {F}_{1}}{\partial {y}_{1}}({x}_{0},{y}_{0}) & \cdots & \frac{\partial {F}_{1}}{\partial {y}_{q}}({x}_{0},{y}_{0})\\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial {F}_{q}}{\partial {y}_{1}}({x}_{0},{y}_{0}) & \cdots & \frac{\partial {F}_{q}}{\partial {y}_{q}}({x}_{0},{y}_{0})\end{array}\right)\end{eqnarray}invertierbar, so gibt es offene Umgebungen U ⊂ X von x₀und V ⊂ Y von y₀und eine differenzierbare Funktion f : U → V mit\begin{eqnarray}f({x}_{0})={y}_{0}\space und\space F(x,f(x))=0\space f\ddot {u}r \space x\in U.\end{eqnarray}

Für x ∈ U ist y = f (x) die einzige in V liegende Lösung von F(x, y) = 0. Für x ∈ U und y ∈ V gilt \begin{eqnarray}f\text{'}(x)=-{\left(\frac{\partial F}{\partial y}(x,y\right)}^{-1}\frac{\partial F}{\partial x}(x,y).\end{eqnarray}

\(\frac{\partial F}{\partial y}({x}_{0},{y}_{0})\) ist gerade die Jacobi-Matrix \({J}_{{F}_{0}}({y}_{0})\) der durch F₀(y) = F(x₀, y) für y ∈ Y definierten Funktion F₀ : Y → ℝ^q an der Stelle y₀. Um die Invertierbarkeit dieser Matrix zu untersuchen, kann man ihre Determinante det \({J}_{{F}_{0}}({y}_{0})\) berechnen.

Die Differentiation impliziter Funktionen ist auch unter etwas schwächeren als den obigen Voraussetzungen noch möglich.

In starker Verallgemeinerung kennt man auch den folgenden Satz über implizite Funktionen: Sind \({f}_{1},\ldots, {f}_{k}\in {{\mathscr{O}}}_{{{\mathbb{C}}}^{n},0}\) analytische Funktionskeime mit \begin{eqnarray}\det {(\partial {f}_{i}/\partial {z}_{j}(0))}_{j\le k}\ne 0,\end{eqnarray} so gibt es Funktionskeime \({w}_{1},\ldots, {w}_{k}\in {{\mathscr{O}}}_{{{\mathbb{C}}}^{n-k},0}\) so, daß in einer Umgebung von 0 ∈ ℂⁿ gilt f₁(z) = ⋯ = f_k(z) = 0 ⇔ z_i = w_i (z_k+1, …, z_n), i = 1, …, k.