ganze Zahl, die für ein C¹ Vektorfeld f : W → ℝ² mit einer offenen Menge W ⊂ ℝ² und eine Jordan-Kurve \({\mathscr{C}}\) anschaulich gesehen die Anzahl der Drehungen (unter Beachtung des Umlaufsinns) des Feldvektors von f entlang \({\mathscr{C}}\) angibt, wobei \({\mathscr{C}}\) im mathematisch positiven Umlaufsinn durchlaufen wird und kein Fixpunkt von f auf \({\mathscr{C}}\) liegen darf.

Schreibt man das Vektorfeld in der Form f = (f₁, f₂), so bildet an einem Punkt (x₁, x₂) = x ∈ W, der nicht Fixpunkt von f ist, der Feldvektor f (x) mit der x₁-Achse den Winkel \begin{eqnarray}\varphi (x)=\arctan \left(\frac{{f}_{2}(x)}{{f}_{1}(x)}\right).\end{eqnarray}

Daher läßt sich der Index von \({\mathscr{C}}\) bezüglich f formal definieren als \begin{eqnarray}\begin{array}{rcl}{\text{ind}}_{f}({\mathscr{C}}) & := & \frac{1}{2\pi }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathscr{C}}}d\arctan (\frac{{f}_{2}(x)}{{f}_{1}(x)})\\ & = & \frac{1}{2\pi }\displaystyle \mathop{\int }\limits_{{\mathscr{C}}}\frac{{f}_{1}d{f}_{2}-{f}_{2}d{f}_{1}}{{f}_{1}^{2}+{f}_{2}^{2}}.\end{array}\end{eqnarray}

Analog ist der Index für Vektorfelder auf 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten unter Verwendung von Karten definiert.

Diese Definition wurde von Poincaré in seiner Dissertation eingeführt. Es gilt:

Sei f ein auf einer Mannigfaltigkeit M bzw. auf einer offenen Menge M ⊂ ℝ²definiertes C¹ -Vektor-feld. Im folgenden seien \({\mathscr{C}}\text{,}{{\mathscr{C}}}_{\text{1}},{{\mathscr{C}}}_{2}\)Jordan-Kurven, auf denen keine Fixpunkte von f liegen. Dann gilt:

1. Ist \({\mathscr{C}}\)eingeschlossener Orbit, dann ist \(in{d}_{f}({\mathscr{C}})=+1\)
2. Befindet sich im Inneren von \({\mathscr{C}}\)kein Fixpunkt von f, so ist \(in{d}_{f}({\mathscr{C}})=0\).
3. Ist x₀ ∈ M der einzige Fixpunkt von f im Inneren von \({{\mathscr{C}}}_{\text{1}}\)und \({{\mathscr{C}}}_{\text{2}}\), so ist \(in{d}_{f}({{\mathscr{C}}}_{\text{1}})=in{d}_{f}({{\mathscr{C}}}_{\text{2}})\).

Es sei noch erwähnt, daß man für den Index (die Indexfunktion) einer Kurve in der komplexen Ebene ℂ den Begriff Umlaufzahl verwendet. Man vergleiche dort für weitere Information.