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Lexikon der Mathematik: Integralexponentialfunktion

die für x ∈ ℝ\{0} durch \begin{eqnarray}\text{Ei}(x)=\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{-\infty }\frac{{e}^{t}}{t}dt=-\mathop{\mathop{\int }\limits^{\infty }}\limits_{-x}\frac{{e}^{-t}}{t}dt\end{eqnarray} definierte Funktion Ei : ℝ\{0} → ℝ. Für x > 0 ist \(\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{-\infty }\frac{{e}^{t}}{t}\) als der Cauchy-Hauptwert des Integralszu verstehen, also \begin{eqnarray}\text{Ei}(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\varepsilon \downarrow 0}\left(\mathop{\mathop{\int }\limits^{-\varepsilon }}\limits_{-\infty }\frac{{e}^{t}}{t}dt+\mathop{\mathop{\int }\limits^{x}}\limits_{\varepsilon }\frac{{e}^{t}}{t}dt\right).\end{eqnarray}

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Integralexponentialfunktion
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Integralexponentialfunktion

Für x ∈ ℝ\{0} gilt \begin{eqnarray}\text{Ei}(x)=\gamma +\mathrm{ln}|x|+\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=1}\frac{{x}^{n}}{n\cdot n!},\end{eqnarray} wobei γ die Eulersche Konstante ist. Für x → ∞ hat man die asymptotische Darstellung \begin{eqnarray}\text{Ei}(-x)\approx \frac{{e}^{-x}}{x}\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=0}{(-1)}^{n}\frac{n!}{{x}^{n}}.\end{eqnarray} Die Integralexponentialfunktion ist durch Ei(x) = Li(ex) für x< 0 bzw. Ei(ln x) = Li(x) für 0 < x< 1 mit der Integrallogarithmusfunktion Li verbunden.

Die Funktion Ei ist zu einer in der geschlitzten Ebene \({{\mathbb{C}}}^{-}={\mathbb{C}}\backslash (-\infty, 0]\) holomorphen Funktion fortsetzbar. Bezeichnet Log den Hauptzweigdes Logarithmus, so ist Eiz − Log z zu einer ganz transzendenten Funktion fortsetzbar. Für z ∈ ℂ gilt die Reihenentwicklung \begin{eqnarray}\text{Ei}z=\gamma +\text{Log}z+\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{n=1}\frac{{z}^{n}}{n\cdot n!}.\end{eqnarray}

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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