Erweiterung eines auf einer Teilmenge \({\mathfrak{E}}\) eines Funktionenraums \({\mathfrak{F}}\) gegebenen elementaren Integrals i unter Beibehaltung von Eigenschaften wie Linearität und (in Spezialfällen) Monotonie auf einen größeren Bereich integrierbarer Funktionen \(\Im \) ⊂ \({\mathfrak{F}}\), der möglichst \({\mathfrak{E}}\) als dichte Teilmenge enthalten soll.

Die Menge \({\mathfrak{E}}\), auch Menge der einfachen Funktionen genannt, kann beispielweise ein Raum von Treppenfunktionen oder ein Raum stetiger Funktionen mit kompaktem Träger sein. Eine einheitliche und elegante Behandlung auch sehr allgemeiner Fälle ist möglich, wenn man solch eine Erweiterung als stetige Fortsetzung von i bezüglich einer auf \({\mathfrak{F}}\) gegebenen (bzw. geeignet definierten) Normähnlichen Abbildung || || : \({\mathfrak{F}}\) → [0, ∞] betrachtet (Integralnorm, Integrationstheorie), wobei folgender Fortsetzungssatz bzw. einfache Verallgemeinerungen desselben benutzt werden können: Ist \({\mathfrak{F}}\) ein Vektorraum und || || : \({\mathfrak{F}}\) → [0, ∞] eine Pseudonorm (d. h. || || hat die Eigenschaften einer Halbnorm mit dem Unterschied, daß auch der Wert ж zugelassen ist), \({\mathfrak{E}}\) ein Unterraum von \({\mathfrak{F}}\), \({\mathfrak{B}}\) ein Banachraum und i : \({\mathfrak{E}}\) → \({\mathfrak{B}}\) linear und stetig bzgl. || ||, dann gibt es eine eindeutige stetige Fortsetzung \(\bar{\iota }:\Im \to {\mathfrak{B}}\) von i auf den Abschluß \(\Im \) von \({\mathfrak{E}}\) bzgl. || ||. \(\Im \) ist ein Unterraum von \({\mathfrak{F}}\), und \(\bar{\iota }\) ist linear. Die Stetigkeit von i bzgl. || || ist insbesondere gegeben, wenn eine Integralabschätzung |i(f)|≤||f|| für f ∈ \({\mathfrak{E}}\) möglich ist. Dann gilt auch \(|\bar{\iota }(f)|\le \Vert f\Vert \) für f ∈ \(\Im \).

Auf ganz ähnliche Weise ist mit Hilfe eines Fortsetzungssatzes für sesquilineare Abbildungen die Erweiterung elementarer Quadratintegrale, d. h. gewisser sesquilinearer Abbildungen auf dem Produkt zweier Räume geeigneter einfacher Funktionen, auf größere Funktionenräume quadratinte- grierbarer Funktionen möglich.