Verfahren zur Lösung der impliziten DifferentialgleichungF(x, y, y′) = 0.

Die glatte Kurve im ℝ² mit der Parameterdarstellung (x(p), y(p)) besitzt im Punkt \((x(p),y(p)),\dot{x}(p)\ne 0\) die Steigung p, wenn \begin{eqnarray}\frac{\dot{y}(p)}{\dot{x}(p)}=\frac{dy/dp}{dx/dp}(p)=p.\end{eqnarray} Dann ist die Kurve genau dann Lösungskurve der Differentialgleichung F(x,y,y′) = 0, wenn \begin{eqnarray}F(x,y,\dot{y}/\dot{x})=F(x(p),y(p),p)\equiv 0.\end{eqnarray} Durch Differenzieren der Gleichung F(x,y, p) = 0 nach p erhält man \begin{eqnarray}{F}_{x}(x,y,p)\dot{x}(p)+{F}_{y}(x,y,p)\dot{y}(p)+{F}_{p}(x,y,p)=0.\end{eqnarray} Diese Gleichung ergibt zusammen mit Gleichung (1) die folgenden Differentialgleichungen für x(·) und y(·): \begin{eqnarray}\dot{x}=\frac{dx}{dp}=-\frac{{F}_{p}}{{F}_{x}+p{F}_{y}}\,\,\,;\,\,\,\dot{y}=\frac{dy}{dp}=\frac{p{F}_{p}}{{F}_{x}+p{F}_{y}}.\end{eqnarray} Löst man dieses System, so erhält man Lösungen von (2) mit p = y′ als Parameter.