Lexikon der Mathematik: Integration rationaler Funktionen
Verfahren, welches es prinzipiell gestattet, zu jeder rationalen Funktion systematisch – also ohne besondere Kunstgriffe – eine Stammfunktion zu finden.
Es seien P und Q Polynome (Q nicht konstant 0) und
Es sei Q (reelles) Polynom mit grad Q =: n ≥ 1 und Leitkoeffizient 1.
Dann läßt sich Q(x) darstellen als Produkt
\(r,s\in {{\mathbb{N}}}_{0},{k}_{\varrho },{m}_{\sigma }\in {\mathbb{N}},{\alpha }_{\varrho },{\beta }_{\sigma },{\gamma }_{\sigma }\in {\mathbb{R}},{\gamma }_{\sigma }\gt 0,{\alpha }_{\varrho }\)und (βσ, γσ) jeweils paarweise verschieden und
Damit gewinnt man die folgende Darstellung für R(x):
Diese Darstellung heißt Partialbruchzerlegung (von R). Die Berechnung einer Stammfunktion von R ist damit reduziert auf die Berechnung von Stammfunktionen zu Funktionen des Typs
Den eleganteren „komplexen Weg” findet man beispielsweise ausgeführt in [1].
[1] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis I. Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 1996.
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