nahe-liegende Erweiterung der Integration nach Rie-mann für gewisse Funktionen, bei denen das In-tegrationsintervall nicht beschränkt ist.

Das „eigentliche” Riemann-Integral \(\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(x)dx\) ist nur für den Fall definiert, daß das Integrationsintervall [a, b] und der Integrand f auf [a, b] beschränktsind. Der Wunsch, dem Symbol \(\mathop{\mathop{\int }\limits^{b}}\limits_{a}f(x)dx\) auchfür unbeschränkte Integrationsintervalle oder un-beschränkte Integranden in gewissen Fällen eineBedeutung zukommmen zu lassen, führt ganz all-gemein zu uneigentlichen Integralen.

Ein Beispiel: Das „Integral” \(\mathop{\mathop{\int }\limits^{\infty }}\limits_{0}\frac{1}{1+{x}^{2}}dx\) existiert – als eigentliches Riemann-Integral – nicht,da das Integrationsintervall unbeschränkt ist. Für 0 < T< ∞ existiert aber \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{T}}\limits_{0}\frac{1}{1+{x}^{2}}dx=\arctan T-\arctan 0=\arctan T.\end{eqnarray} Die rechte Seite strebt gegen \(\frac{\pi }{2}\) für T → ∞. Es liegtdann nahe, den Integralbegriff so zu erweitern, daß \begin{eqnarray}\mathop{\mathop{\int }\limits^{\infty }}\limits_{0}\frac{1}{1+{x}^{2}}dx=\frac{\pi }{2}\end{eqnarray} gilt.

Geometrisch bedeutet dies, daß auch speziellenunbeschränkten Flächen ein Flächeninhalt zuge-ordnet werden kann.