Lexikon der Mathematik: Integrationsregeln
Vorschriften für das Arbeiten mit Integralen.
Dazu zählen – für bestimmtes und unbestimmtes Integral (Stammfunktionen) – zunächst die trivialen Regeln der Linearität und die Additivität bezüglich der Intervallgrenzen:
Für ein Intervall J in ℝ, f, g : J → ℝ stetig und α ∈ ℝ gilt:
In Worten: Man erhält eine Stammfunktion zu αf + g, indem man eine Stammfunktion F zu f und eine Stammfunktion G zu g sucht und dann α F + G bildet. (Der Beweis ist unmittelbar durch die Linearität der Differentiation gegeben.) Entsprechend für das bestimmte Integral:
Für a, b ∈ ℝ mit a< b, über [a, b] integrierbaren reellwertigen Funktionen f und g und a ∈ ℝ gilt
Weiterhin gilt:
Für a, b, c ∈ ℝ mit a < b < c ist eine auf [a, c] definierte reellwertige Funktion f genau dann über [a, c] integrierbar, wenn sie über [a, b] und über [b, c] integrierbar ist. Es gilt dann:
Neben diesen trivialen Regeln sind vor allem hilfreich die ↗ partielle Integration und die ↗ Substitutionsregeln: Für Intervalle I, J, eine stetige Funktion f : I → ℝ und eine stetig differenzierbare Funktion φ : J → I gilt:
Manchmal ist es günstiger, anders zu substituieren:
In einem Intervall, in dem φ′ konstantes Vorzeichen hat (dazu genügt, daß φ′ dort keine Nullstelle hat), ist φ umkehrbar. Mit der zugehörigen Umkehrfunktion ψ gilt
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