Funktion f, für die das μ-integral über |f| endlich ist.

Es sei \(({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) ein Maßraum und f : Ω → ℝ bzw. \(\bar{{\mathbb{R}}}\) eine meßbare Funktion. Dann heißt f für 1 ≤ p< ∞ p-fach μ-integrierbar, falls das μ-Integral über |f|^p endlich ist, insbesondere μ-integrierbar im Falle p = 1.

Mit \({{\mathcal{L}}}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) wird i.allg. die Menge der p-fach μ-integrierbaren Funktionen \(f:{\rm{\Omega }}\to \bar{{\mathbb{R}}}\) bezeichnet, und mit \({{\mathcal{L}}}^{\infty }({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) die Menge der meßbaren Funktionen \(f:{\rm{\Omega }}\to \bar{{\mathbb{R}}}\), für die es ein M_f ∈ ℝ₊ so gibt, daß μ-fast überall |f| ≤ M_f ist.

Mit \({L}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) wird dann die Menge der Äquivalenzklassen in \({{\mathcal{L}}}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) bzgl. der Äquivalenzrelation der Gleichheit μ-fast überall bezeichnet. Für \(f\in {{\mathcal{L}}}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) ist

\begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{p}:={(\displaystyle \int {|f|}^{p}d\mu )}^{1/p}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}{\Vert f\Vert }_{\infty }:=\inf \{M||f|\quad \le \quad {M}_{\mu }\text{-fast}\quad \text{überall}\}\end{eqnarray}

Der Satz von Riesz-Fischer sagt, daß \({L}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) mit der von dieser Norm induzierten Metrik ein Banachraum ist und \({L}^{2}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},P)\) ein Hilbertraum. Die Menge der zu \({L}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) gehörigen Elementarfunktionen liegt dicht in \({L}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) und, falls μ ein σ-endliches Maß auf \({\mathcal{A}}\) ist und \({\mathcal{A}}\) abzählbar erzeugt wird, ist \({L}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) separabel. Für 1 < p< ∞ ist der Dualraum zu \({L}^{p}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) der Raum \({L}^{q}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) mit 1/p + 1/q = 1, und der Dualraum zu \({L}^{1}({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) ist, falls μ σ-endliches Maß ist, \({L}^{\infty }({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\). Genau dann, wenn \(({\rm{\Omega }},{\mathcal{A}},\mu )\) lokalisierbar ist, ist er gleich dem Raum der Äquivalenzklassen bzgl. der Gleichheit μ-fast überall im Raum der lokal meßbaren Funktion \(f:{\rm{\Omega }}\to \bar{{\mathbb{R}}}\), für die es ein R_f ∈ ℝ₊ so gibt, daß {|f| >R_f} lokale Nullmenge ist (Satz von Segal-Kelley).