IST (engl. Internal Set Theory), von E. Nelson stammende Erweiterung der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre (mit Auswahlaxiom) ZFC, im Hinblick auf eine axiomatische Formulierung der Nichtstandard-Analysis.

Dafür hat Nelson (1977) ein zusätzliches einstelliges Grundprädikat st(x) in die Sprache erster Stufe der Mengenlehre eingeführt, welches gerade die Standard-Mengen auszeichnen soll. Formeln, welche st nicht enthalten, heißen interne Formeln; solche, die st enthalten heißen externe Formeln. Die ursprünglichen Axiome von ZFC werden weiterhin nur für interne Formeln gefordert.

Die neuen (externen) Axiome(nschemata) verwenden die Abkürzungen \({\forall }^{st}z\Phi \) bzw. \({\exists }^{st}z\Phi \) für die auf st relativierten Quantoren \begin{array}\text\forall z(st(z)\Rightarrow \Phi )\,\text {bzw}.\exists z(st(z)\,\Lambda\, \Phi ).\end{array}

Transferaxiom

\begin{eqnarray}{\forall }^{st}{y}_{1}\ldots {\forall }^{st}{y}_{n}[{\forall }^{st}xP(x,{y}_{1}\ldots {y}_{n})\Rightarrow \forall xP(x,{y}_{1}\ldots, {y}_{n})]\end{eqnarray} für jede interne Formel P.

In Worten: Eine interne Aussage P(x, y₁, …, y_n) mit Standard-Parametern y₁,…, y_n gilt für alle x genau dann, wenn sie für alle Standard-Mengen x gilt.

Axiom vom idealen Punkt

\begin{array}\text{\forall }^{s}tx\exists y\forall z\{z\in x\,\Lambda |x|\in {\mathbb{N}}\,\Lambda\, st(|x|)\,\Lambda \,P(y,z)\}\iff \exists Y{\forall }^{st}zP(Y,z)\end{array} für jede interne Formel P. Dabei ist |x| die Mächtigkeit von x.

In Worten: Eine interne zweistellige Relation P(y, z), welche für jede endliche Standard-Menge x von Elementen z durch ein Element y erfüllbar ist, in dem Sinne, daß P(y, z) gilt für alle z ∈ x, wird sogar für alle Standard-Elemente z gleichzeitig durch ein geeignetes Element Y erfüllt.

In P können weitere hier nicht sichtbare freie Variablen vorkommen.

Axiom der Standard-Mengenbildung

\begin{array}\text{\forall }^{st}y{\exists }^{st}z{\forall }^{st}x[x\in z\iff x\in y\,\Lambda \Phi (x)]\end{array} für beliebige interne oder externe Formeln Ф, die noch weitere Variablen haben können.

In Worten: Aus jeder Standard-Menge y läßt sich mit jeder Formel Ф eine Standard-Teilmenge z ⊆ y aussondern.

Nelson hat bewiesen, daß IST eine konservative Erweiterung (Axiomatische Mengenlehre) von ZFC ist und aufgezeigt, wie die Nichtstandard- Analysis damit entwickelt werden kann.

Eine Modifikation von IST erhält man dadurch, daß man nur beschränkte Quantoren zuläßt. Als Modelle erweisen sich z. B. die Superstrukturen V(ℝ*) (Nichtstandard-Analysis).

[1] Cutland, N.(Hrsg.): Nonstandard Analysis and its Applications. Cambridge University Press Cambridge UK, 1988.
[2] Richter, M.M.: Ideale Punkte, Monaden und Nichtstandard-Methoden. Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig, 1982.