Lexikon der Mathematik: Interpolationssatz für holomorphe Funktionen
lautet:
Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und (zk) eine Folge paarweise verschiedener Punkte in D, die in D keinen Häufungspunkt besitzt. Weiter sei jedem zk eine Zahl m(k) ∈ ℕ0und Zahlenw0,k, w1,k,…,wm(k),k ∈ ℂ zugeordnet. Dann exisitiert eine in Dholomorphe Funktion f derart, daß f(
Ist (zk) wie im obigen Satz gewählt, so existiert insbesondere zu jeder Folge (wk) in ℂ eine in D holomorphe Funktion f mit f(zk) = wk für alle k ∈ ℕ. Falls die Folge (wk) beschränkt ist, so stellt sich die Frage, ob auch die Funktion f beschränkt gewählt werden kann. Im Spezialfall D = \({\mathbb{E}}\) = {z ∈ ℂ : |z| < 1} wurde diese Frage von Carleson geklärt. Zur Formulierung des Ergebnisses ist folgende Definition notwendig. Eine Folge (zk) in \({\mathbb{E}}\) heißt gleichmäßig separiert, falls eine Konstante δ > 0 existiert mit
Es sei (zk) eine Folge paarweise verschiedener Punkte in \({\mathbb{E}}\). Dann sind folgende beiden Aussagen äquivalent:
- (a) Zu jeder beschränkten Folge (wk) in ℂ existiert eine in \({\mathbb{E}}\)beschränkte, holomorphe Funktion f mit f(zk) = wk für alle k ∈ ℕ.
- (b) Die Folge (zk) ist gleichmäßig separiert.
Eine Folge (zk) in \({\mathbb{E}}\) ist sicher dann gleichmäßig separiert, wenn eine Konstante c ∈ (0, 1) existiert mit
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