in der Differentialgeometrie der Flächen und Kurven im ℝ³ eine Menge \({\mathcal{S}}=\{{S}_{1},\mathrm{...},{S}_{n}\}\) von differentiellen Invarianten.

Das Invariantensystem heißt unabhängig, wenn sich keine der Invarianten S_i durch die anderen Invarianten und deren Ableitungen ausdrücken läßt. \({\mathcal{S}}\) heißt vollständig, wenn die Flächen bzw. Kurven durch die S_i bis auf Kongruenz bestimmt sind. Bogenlänge, Krümmung und Windung sind ein unabhängiges Invariantensystem für die Menge der allgemein gekrümmten Kurven.

Nach dem Fundamentalsatz der Kurventheorie ist dieses Invariantensystem auch vollständig. Ebenso bilden nach dem Fundamentalsatz der Flächentheorie die durch die erste und zweite Gaußsche Fundamentalform gegebenen Invarianten ein vollständiges Invariantensystem für die regulären Flächen.

Unter einer Wirkung einer Gruppe G auf einer Menge M versteht man eine Abbildung (g, x) ∈ G × M → gx ∈ M mit h (gx) = (hg) x und ex = e für x ∈ M, h, g ∈ G und das das Einselement e ∈ G. Als Orbit eines Punktes x ∈ M bezeichnet man die Menge Gx = {gx|g ∈ G} aller Bilder von x unter der Wirkung der Gruppenelemente. Die Menge ist dann die disjunkte Vereinigung aller Orbits. Die Menge aller Orbits wird als Faktorraum M/G bezeichnet.

Im Zusammenhang mit Gruppenwirkungen ist ein Invariantensystem im allgemeinen Verständnis eine Menge von invarianten Funktionen, d. h., von Funktionen \(f:M\in {\mathbb{R}}\) mit f(g x) = f(x) für alle (g, x) ∈ G × M. Ein solches Invariantensystem \({\mathcal{S}}=\{{f}_{1},\mathrm{...},{f}_{n}\}\) heißt vollständig, wenn aus der Gleichheit \({f}_{i}(x)={f}_{i}(y)\) der Invarianten für i = 1,…,n die Gleichheit G x = G y der Orbits folgt. Wenn man das Invariantensystem \({\mathcal{S}}\) als Abbildung \(\mathop{\tilde {f}}\limits^{}:M/G\to {{\mathbb{R}}}^{n}\) des Faktorraumes M/G in ℝⁿ ansieht, die einem Orbit G x den Punkt \({({f}_{1}(x),\mathrm{...},{f}_{n}(x))}^{\top }\in {{\mathbb{R}}}^{n}\) zuordnet, so ist genau dann \({\mathcal{S}}\) vollständig, wenn \(\mathop{\tilde {f}}\limits^{}\) injektiv ist.