die Eigenschaft der Bogenlängenfunktion, von zufällig gewählten Parameterdarstellungen der Kurve, die zu ihrer Berechnung dienen, unabhängig zu sein.

Die Invarianz der Bogenlänge \({ {\mathcal L} }_{{t}_{0},{t}_{1}}(\alpha )\) einer Kurve α in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, gemessen zwischen zwei Kurvenpunkten, die den Parametern t₀ und t₁ entsprechen, gegenüber Parametertransformationen bedeutet in genauer Formulierung folgendes: Ist α auf einem Intervall (a, b) ⊆ ℝ mit a< t₀< t₁< b definiert und τ : (a₁, b₁) → (a, b) eine bijektive differenzierbare Abbildung von einem anderen Intervall auf (a, b) mit τ′(s) = 0, und setzt man \begin{eqnarray}\beta (s)=\alpha (\tau (s)),{s}_{0}={\tau }^{-1}({t}_{0}),{s}_{1}={\tau }^{-1}({t}_{1}),\end{eqnarray} so gilt \begin{eqnarray}{ {\mathcal L} }_{{t}_{0},{t}_{1}}(\alpha )={ {\mathcal L} }_{{s}_{0},{t}_{1}}(\beta ).\end{eqnarray}