Lexikon der Mathematik: Inversion an der Einheitskreislinie
eine spezielle Inversion am Kreis, nämlich die Abbildung \(f:{{\mathbb{C}}}^{* }\to {{\mathbb{C}}}^{* }\) mit \(f(z)=1/z\) für \(z\in {{\mathbb{C}}}^{* }={\mathbb{C}}\backslash \{0\}\).
Sie vermittelt eine konforme Abbildung von \({{\mathbb{C}}}^{* }\) auf \({{\mathbb{C}}}^{* }\), wobei \(\mathop{{\mathbb{E}}}\limits^{.}=\{z\in {\mathbb{C}}:0\lt |z|\lt 1\}\) konform auf \(\Delta =\{z\in {\mathbb{C}}:|z|\gt 1\}\) und Δ konform auf \(\mathop{{\mathbb{E}}}\limits^{.}\) abgebildet wird. Die Einheitskreislinie \({\mathbb{T}}\) wird bijektiv auf sich abgebildet. Außerdem gilt \({f}^{-1}=f\). Die Fixpunkte von f sind ±1.
Für \(z\in {{\mathbb{C}}}^{* }\) kann man den Bildpunkt f(z) mit Zirkel und Lineal konstruieren. Dazu sei zunächst \(|z|\lt 1\). Man zeichnet den Strahl S von 0 durch z nach ∞ und konstruiert eine Gerade L durch z senkrecht zu S. In einem der beiden Schnittpunkte von L mit \({\mathbb{T}}\) errichtet man die Tangente T an \({\mathbb{T}}\). Der Schnittpunkt von T mit S sei z*. Schließlich wird z* noch an der reellen Achse gespiegelt, und man erhält f(z).
Inversion an der Einheitskreislinie
Ist |z| > 1, so wird z zunächst an der reellen Achse gespiegelt, wodurch man den Punkt \(\bar{z}\) erhält. Man zeichnet die Strecke S von 0 nach \(\bar{z}\) und konstruiert eine der beiden Tangenten von \(\bar{z}\) an \({\mathbb{T}}\). Vom Schnittpunkt dieser Tangente mit \({\mathbb{T}}\) fällt man das Lot auf die Strecke S und erhält f(z).
Für |z| = 1 gilt \(f(z)=\bar{z}\), d. h. z muß nur an der reellen Achse gespiegelt werden.
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