Existenz eines linearen bijektiven Operators Φ : X → Y zwischen Banachräumen so, daß Φ und Φ^-1 stetig sind.

Φ ist also ein linearer Homöomorphismus. (Tatsächlich ist die Stetigkeit von Φ^-1 nach dem Satz von der offenen Abbildung eine Konsequenz der Stetigkeit von Φ.) Gilt zusätzlich sogar ‖Φ(x)‖ = ‖x‖ für alle x ∈ X, heißen X und Y isometrisch isomorph.

Nach dem Struktursatz von Fischer-Riesz sind ℓ² und L²[0,1] isometrisch isomorph, und ℓ^∞ und L^∞[0,1] sind isomorph, aber nicht isometrisch isomorph. Für die übrigen Werte von p sind ℓ^p und L^p[0, 1] nicht isomorph.

Ein quantitatives Maß der Isomorphie von Banachräumen ist der Banach-Mazur-Abstand.