die Ungleichung \begin{eqnarray}{\left(\mathop{\sum ^{n}}\limits_{t=1}{x}_{t}^{s}\right)}^{\frac{1}{s}}\le {\left(\mathop{\sum ^{n}}\limits_{t=1}{x}_{t}^{r}\right)}^{\frac{1}{r}}\end{eqnarray} für x₁,…,x_n ∈ [0, ∞) und 0 < r ≤ s< ∞, und die sich daraus für Folgen (x_k) nicht-negativer Zahlen ergebende Ungleichung \begin{eqnarray}{\left(\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{t=1}{x}_{t}^{s}\right)}^{\frac{1}{s}}\le {\left(\mathop{\sum ^{\infty }}\limits_{t=1}{x}_{t}^{r}\right)}^{\frac{1}{r}},\end{eqnarray} die mit der Vereinbarung ∞^α = ∞ für α ∈ (0, ∞) auch im Fall bestimmt divergenter Reihen gelten.

Diese Ungleichungen führen zu Ungleichungen für die Normen ‖ ‖_p auf den Räumen ℓ^p(n) und ℓ^p für p ≥ 1: Für 1 ≤ r ≤ s ≤ ∞ gilt ‖x‖_s ≤ ‖x‖_r für x ∈ ℓ^r(n) bzw. x ∈ ℓ^r (man beachte ℓ^r ⊂ ℓ^s). Die Jensen-Ungleichung für Integrale ist mit Hilfe der Hölder-Ungleichung zu beweisen und lautet \begin{eqnarray}{\left(\frac{1}{\mu (T)}\mathop{\int }\limits_{T}x{(t)}^{r}dt\right)}^{\frac{1}{r}}\le {\left(\frac{1}{\mu (T)}\mathop{\int }\limits_{T}x{(t)}^{s}dt\right)}^{\frac{1}{s}}\end{eqnarray} für x : T → [0, ∞) und 0 < r ≤ s< ∞, wobei T ⊂ ℝ^N sei mit \( \mu (T)=\mathop{\int }_{T}dt\in (0,\infty )\), die Existenz der Integrale vorausgesetzt.

Allgemeiner gilt: Ist (X, \({\mathcal{A}}\), μ) ein Maßraum mit 0 < μ(X) < ∞, und ist 0 < r ≤ s< ∞, dann gilt L^s(X) ⊂ L^r(X), und für f ∈ L^s(X) ist \begin{eqnarray}\mu {(X)}^{-\frac{1}{r}}\parallel f{\parallel }_{r}\le \mu {(X)}^{-\frac{1}{s}}\parallel f{\parallel }_{s}.\end{eqnarray}

Man vergleiche zu diesem Themenkreis auch die Stichwörter Jensen-Ungleichung für bedingte Erwartungen, Jensen-Ungleichung für Lebesgue-Integrale, sowie Jensen-Konvexitäts- ungleichungen.