Aussage aus der Geometrie, die wie folgt lautet:

Liegt eine Kurve im Durchschnitt \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }_{1}\cap { {\mathcal F} }_{2}\end{eqnarray}\) zweier regulärer Flächen \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }_{1}\end{eqnarray}\), \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }_{2}\end{eqnarray}\) ⊂ ℝ³, und ist der Winkel, unter dem sich \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }_{1}\end{eqnarray}\) und \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }_{2}\end{eqnarray}\)schneiden, konstant, so ist die gegebene Kurve genau dann Krümmungslinie auf \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }_{1}\end{eqnarray}\), wenn sie Krümmungslinie auf \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }_{2}\end{eqnarray}\)ist.

Aus diesem Satz folgt u. a., daß die Schnittkurven der Flächen eines dreifach orthogonalen Flächensystems (Flächensystem, dreifach orthogonales) im ℝ³ Krümmungslinien auf diesen Flächen sind.

Die Meridiane und Breitenkreise einer Rotationsfläche \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }\end{eqnarray}\) ⊂ ℝ³ ergeben sich als Durchschnitte von \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }\end{eqnarray}\) mit Ebenen des ℝ³, die die Rotationsachse enthalten bzw. zu ihr orthogonal sind. Nach dem Satz von Joachimsthal sind sie also Krümmungslinien auf \(\begin{eqnarray}{ {\mathcal F} }\end{eqnarray}\).