eine wichtige Klasse von unendlichdimensionalen Lie-Algebren.

Sie werden ausgehend von einer verallgemeinerten Cartan-Matrix konstruiert. Eine verallgemeinerte Cartan-Matrix ist eine ganzzahlige (n × n)- Matrix A = (a_ij)_i,j = 1,…,_n mit

1. a_ii = 2, i = 1,…,n,
2. a_ij ≤ 0, für i ≠ j, und
3. a_ij = 0 ⇒ a_ji = 0.

Sei die Matrix A vom Rang r, und sei sie durch Permutation bereits in die Form gebracht worden, daß die ersten r Zeilen linear unabhängig sind. Dann wird die volle Kac-Moody-Algebra g(A) erhalten durch Hinzufügen von n−r weiteren Elementen d_j, j = r + 1,…,n, den Derivationen, mit \begin{eqnarray}\begin{array}{llllll}[{d}_{j},{h}_{i}] = 0, & [{d}_{j},{d}_{k}] = 0,\\ [{d}_{j},{e}_{i}] = {\delta }_{j,i}{e}_{i}, & [{d}_{j},{f}_{i}] = -{\delta }_{j,i}{f}_{i},\end{array}\end{eqnarray} für i = 1,…,n und j, k = r + 1,…,n.

Die Klasse der Kac-Moody-Algebren zerfällt in mehrere Teilklassen. Für unzerlegbare Matrizen A sind die wichtigsten Klassen die folgenden:

1. Besitzt die Matrix A positive Determinante, so ist die Kac-Moody-Algebra eine endlichdimensionale einfache Lie-Algebra.
2. Existiert eine nichtsinguläre Diagonalmatrix D derart, daß DA symmetrisch und positiv semidefinit, jedoch nicht definit ist, so erhält man eine affine Kac-Moody-Algebra. Der Rang der Matrix A ist in diesem Fall notwendig gleich n − 1.
3. Existiert eine nichtsinguläre Diagonalmatrix D derart, daß DA symmetrisch und vom indefiniten Typ ist, so erhält man eine hyperbolische Kac-Moody-Algebra.

Die affinen Kac-Moody-Algebren kann man noch weiter unterscheiden in die ungetwisteten (auch affine Lie-Algebren genannt) und die getwisteten. Jede affine (ungetwistete) Lie-Algebra lässt sich über die zentrale Erweiterung \(\begin{eqnarray}{\hat{{\mathfrak{g}}}}{^{\prime} }\end{eqnarray}\) der Schleifenalgebra ausgehend von einer endlichdimenensionalen einfachen Lie-Algebra \({\mathfrak{g}}\) mit normalisierter Killing-Form (.|.) erhalten. Sie ist als Vektorraum gegeben durch \begin{eqnarray}{\hat{{\mathfrak{g}}}}{^{\prime} }=g\otimes {\mathbb{C}}[t,{t}^{-1}]\oplus {\mathbb{C}}c,\end{eqnarray} wobei ℂ [t, t⁻¹] den Ring der Laurent-Polynome bezeichnet. Die Lie-Struktur ist gegeben durch \begin{eqnarray}[x\otimes {t}^{n},y\otimes {t}^{m}]:=[x,y]\otimes {t}^{n+m}+n(x|y){\delta }_{n,-m}\cdot c,[x\otimes {t}^{n},c]=0.\end{eqnarray} Um die volle affine Kac-Moody-Algebra ĝ zu erhalten, ist noch eine Derivation d hinzufügen, für die gilt \begin{eqnarray}[d,c]=0,\quad[d,x\otimes {t}^{n}]=n(x\otimes {t}^{n}).\end{eqnarray}

[1] Kac, V.G.: Infinite dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, 1990.