Cayley-Kleinsches Modell, Modell der ebenen nichteuklidischen hyperbolischen Geometrie.

Die nichteuklidischen Punkte sind in diesem Modell die Punkte im Innern einer euklidischen Kreisscheibe, die Punkte auf der Peripherie des die Kreisscheibe begrenzenden Kreises k (auch Fundamentalkreis genannt) sind uneigentliche Punkte. Nichteuklidische Geraden sind alle offenen Sehnen dieses Kreises (siehe Abb. 1).

Die Definition des nichteuklidischen Abstands zweier Punkte A und B erfolgt im Kleinschen Modell mit Hilfe des Doppelverhältnisses der Punkte A, B, U und V, wobei U und V die uneigentlichen Punkte der nichteuklidischen Geraden AB sind (siehe Abb. 2): \begin{eqnarray}{|AB|}_{N}=C\cdot |\mathrm{ln}(A,B,U,V)|\,\,(C=const,\,C\,\gt\,0)\end{eqnarray}

Bewegungen im Kleinschen Modell sind neben den Spiegelungen an Durchmessern des Fundamentalkreises und Drehungen um dessen Mittelpunkt die polaren Homologien. Bei letzteren bleiben euklidische Winkelmaße nicht invariant, demnach entsprechen die nichteuklidischen Winkelmaße im Kleinschen Modell nicht den euklidischen Winkelmaßen. Das Kleinsche Modell ist demnach im Gegensatz zur Poincaré-Halbebene und zur Poincaré-Kreisscheibe kein konformes Modell der hyperbolischen Geometrie.