Lexikon der Mathematik: Knopp-Funktion
die 1918 von Konrad Knopp in Anlehnung an die Weierstraß-Cosinusreihe untersuchte, zu a ≥ 1 und 0 < b< 1 durch
definierte Funktion fa,b : ℝ → ℝ. Wie bei der Weierstraß-Funktion sieht man, daß fa,b stetig und im Fall ab< 1 sogar differenzierbar ist. Knopp zeigte, daß bei Wahl von a als gerade natürliche Zahl mit \(ab\gt1+\frac{3}{2}\pi \) die Funktion fa,b eine nirgends differenzierbare stetige Funktion ist.
Die Teilfunktionen bk sin(akπx) sind Sinusschwingungen mit für wachsendes k monoton gegen 0 fallender Amplitude und aufgrund ihrer schnell fallenden Wellenlänge zunehmender Steilheit. Die Näherungsfunktionen
Die Nichtdifferenzierbarkeit der Knopp-Funktion ist deutlich einfacher zu beweisen als diejenige der Weierstraß-Funktion, erfordert aber ebenfalls einige (wenn auch elementare) Überlegungen.
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