Lexikon der Mathematik: Kodaira-Dimension
Begriff aus der algebraischen Geometrie.
Für eine glatte komplette algebraische VarietätX (oder auch jede kompakte komplexe Mannigfaltigkeit) erhält man eine birationale (bzw. bimeromorphe) Invariante auf folgende Weise: Es sei KX das kanonische Bündel, dann ist
Die Kodaira-Dimension κ(X) von X ist die Dimension dieses Körpers, d. h. sein Transzendenzgrad über dem Grundkörper.
Ist V ein Modell dieses Körpers, und hat der Grundkörper die Charakteristik 0, so erhält man eine rationale bzw. meromorphe Abbildung X → V bzw. nach einer Modifikation von X eine Faserung X → V (im weiterem Sinne), genannt die Kodaira-Faserung (Auflösung von Singularitäten). Wenn R•(X) nur aus dem Konstantenkörper besteht, wird κ(X) = −∞ definiert.
Eine andere Charakterisierung von κ(X) ergibt sich aus dem Verhalten der Funktion
Im Falle der Charakteristik 0 gilt weiterhin, daß die allgemeinen Fasern der Kodaira-Faserung glatte algebraische Varietäten der Kodaira-Dimension 0 sind.
Im allgemeinen erwartet man von einer Faserung X → Y mit der allgemeinen Faser F die Ungleichung κ(X) ≥ κ(Y) + κ(F), für dim X ≤ 3 ist das bekannt (Subadditivität von κ(X)). Für dim X ≤ 3 ist eben-falls bekannt, daß der Ring R•(X) endlich erzeugt ist über dem Grundkörper, und daß das Ideal
Die Kodaira-Dimension ist die wichtigste Invariante für die birationale Klassifikation von algebraischen Varietäten. Für glatte Kurven (über ℂ) führt das auf folgende Klassifikation:
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