Lexikon der Mathematik: Kokomplex von abelschen Gruppen
eine Folge
Ein Kokomplex heißt nach unten (oben) beschränkt, falls C
Für jeden Kokomplex C• kann für n ∈ ℤ die n-te Kohomologiegruppe
Ein Kokomplex heißt exakter Kokomplex oder auch exakte Sequenz, bzw. lange exakte Sequenz, falls H
Die eingeführten Begriffsbildungen sind sinnvoll für Kokomplexe mit Objekten und Morphismen aus einer beliebigen abelschen Kategorie. Von spezieller Bedeutung sind die Kokomplexe von Vektorräumen, Kokomplexe von Moduln über einem kommutativen Ring und Kokomplexe von Garben abelscher Gruppen. Den Kohomologiegruppen entsprechen dann jeweils Objekte in der zugrunde gelegten Kategorie. Es gibt auch den dualen Begriff des Komplexes. Manchmal bezeichnet man auch die Kokomplexe selbst als Komplexe.
Zusammen mit den Komplexmorphismen als Morphismen bilden die Kokomplexe eine abelsche Kategorie Die Zuordnung der n-ten Kohomologiegruppe ist ein Funktor.
Ein Beispiel eines Kokomplexes wird durch den de Rham-Komplex auf einer endlichdimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit gegeben. Die i-Koketten sind die i-Differentialformen, die Morphismen sind die äußeren Ableitungen der Differentialformen. Es handelt sich hierbei um einen beschränkten Komplex. Die Kohomologiegruppen sind die de Rham-Kohomologiegruppen der differenzierbaren Mannigfaltigkeit.
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