Lexikon der Mathematik: Kompaktheit
Eigenschaft einer Teilmenge, aus beliebigen offenen Überdeckungen endliche Teilüberdeckungen zuzulassen.
Es seien M ein metrischer Raum mit der Metrik d und A ⊆ M. Eine Familie (Ui, i ∈ I) mit einer beliebigen Indexmenge I heißt offene Überdeckung von A, falls alle Mengen Ui bezüglich d offen sind und gilt:
Die Menge A heißt kompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung von A eine endliche Teilüberdeckung gibt, das heißt, wenn es endlich viele Indizes i1, …, ik ∈ I gibt mit der Eigenschaft:
Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
- A ist kompakt.
- Jede Folge in A besitzt einen konvergente Teilfolge, deren Grenzwert in A liegt.
- Jede Folge in A besitzt einen Häufungspunkt in A.
- Jede abzählbare offene Überdeckung von A enthält eine endliche Teilüberdeckung.
Siehe auch kompakte Menge, kompakter Raum.
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