eine Folge \begin{eqnarray}{C_ \bullet }\,: = \,\left( {{C_i},\,{d_i}\,:\,{C_i}\, \to \,{C_{i – 1}}} \right)i \in \mathbb{Z}\end{eqnarray} abelscher Gruppen C_i und Gruppenhomomorphismen d_i, für die d_i ○ d_i+1 = 0 gilt.

Ein Komplex heißt nach unten (oben) beschränkt, falls C_i = 0 für i ≪ 0 (i ≫ 0). Ein Komplex heißt beschränkt, falls er sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Ein Komplex heißt positiv (negativ), falls C_i = 0 für i< 0 (i > 0).

Für jeden Komplex C_• kann für n ∈ ℤ die n-te Homologiegruppe \begin{eqnarray}{H_n}\left( {{C_ \bullet }} \right)\,: = \,{\text{Ker}}\,{d_n}\,/\,\operatorname{Im} \,{d_{n + 1}}\end{eqnarray} defininiert werden. In Anlehnung an die Anwendungen in der algebraischen Topologie (simplizialer oder singulärer Komplex) verwendet man auch oft statt Komplex die Bezeichnung Kettenkomplex (engl. chain complex). Die Elemente in C_i werden auch als Ketten (engl. chains), die Elemente in ker d_i als Zykel (engl. cycles) und die Elemente in im d_i+1 als Ränder (engl. boundaries) bezeichnet. Die Abbildung d_i heißt auch Randoperator bzw. Differential. Zwei Zykel, die dasselbe Element in H_n(C_•) repräsentieren, heißen homolog.

Ein Komplex heißt exakter Komplex oder auch exakte Sequenz, bzw. lange exakte Sequenz, falls H_n(C_•) = 0 für alle n. Ein positiver Komplex heißt azyklischer Komplex, falls H_n(C_•) = 0 für n ≥ 1, d. h. alle Homologiegruppen verschwinden bis eventuell auf H₀(C_•).

Die eingeführten Begriffsbildungen sind sinnvoll für Komplexe mit Objekten und Morphismen aus einer beliebigen abelschen Kategorie. Von spezieller Bedeutung sind die Komplexe von Vektorräumen, Komplexe von Moduln über einem kommutativen Ring und Komplexe von Garben abelscher Gruppen. Den Homologiegruppen entsprechen dann jeweils Objekte in der zugrunde gelegten Kategorie. Es gibt auch den dualen Begriff des Kokomplexes. Dieser wird manchmal ebenfalls als Komplex bezeichnet.

Zusammen mit den Komplexmorphismen als Morphismen bilden die Komplexe eine abelsche Kategorie. Die Zuordnung der n-ten Homologiegruppe ist ein Funktor.

Ein wichtiges Beispiel für einen Komplex wird gegeben durch den simplizialen Kettenkomplex. Ausgehend von der Triangulierung durch Simplizes einer triangulierbaren topologischen Mannigfaltigkeit wird als C_i die freie abelsche Gruppe, erzeugt durch die orientierten i-Simplizes, gewählt. Der Randoperator d_i, angewandt auf einen i-Simplex, ergibt die orientierten Randkomponenten des Simplex.