Calderón, Methode von, eine Methode zur Interpolation linearer Operatoren im folgenden Sinne.

Sei (X₀, X₁) ein verträgliches Paar von komplexen Banachräumen (Interpolationstheorie auf Banachräumen), und sei S der Streifen {z : 0 ≤ Re z ≤ 1} in der komplexen Ebene. Ferner sei \(\mathcal{F}\) der Raum aller beschränkten stetigen Funktionen f : S → X₀ + X₁, die auf int S analytisch sind, für die f(z) ∈ X₀, falls Re z = 0, und f(z) ∈ X₁, falls Re z = 1, und für die die Abbildungen t ↦f(j + it) von ℝ nach (X_j, ∥ · ∥_j) ebenfalls stetig und beschränkt sind (j = 0, 1); \(\mathcal{F}\) trage die Norm \begin{eqnarray}\left\| f \right\|\, = \,\mathop {\sup }\limits_t \{ {\left\| {f({it})} \right\|_0},\,{\left\| {f({1\, + \,it})} \right\|_1}\} \,.\end{eqnarray}

Man setzt dann zu 0 < ϑ< 1 \begin{eqnarray}{X_\vartheta }\,: = \,{\left[ {{X_0},\,{X_1}} \right]_\vartheta }\,: = \,\{ f(\vartheta )\,:\,f \in \,\mathcal{F}\} \end{eqnarray} und versieht diesen Raum mit der Norm \begin{eqnarray}{\left\| x \right\|_\vartheta }\, = \,\inf \{ \left\| f \right\|\,:\,f\, \in \,\mathcal{F}\,,\,f(\vartheta )\, = \,x\} \,;\end{eqnarray}

X_ϑ ist ein Banachraum, der zum Quotientenraum \(\mathcal{F}\)/{ f ∈ F : f(ϑ) = 0} isometrisch isomorph ist.

Sei nun (Y₀, Y₁) ein weiteres verträgliches Paar von Banachräumen, und sei T : X₀ + X₁ → Y₀ + Y₁ eine lineare Abbildung, die X₀ stetig in Y₀ und X₁ stetig in Y₁ überführt, es ist also \begin{eqnarray}\begin{gathered} \left\| {T\,:\,{X_0}\, \to \,{Y_0}} \right\|\, = :\,{M_0}\,\lt \,\infty \,, \hfill \\ \left\| {T\,:\,{X_1}\, \to \,{Y_1}} \right\|\, = :\,{M_1}\,\lt \,\infty \,. \hfill \\ \end{gathered} \end{eqnarray}

Dann gilt auch T(X_ϑ) ⊂ Y_ϑ für alle 0 < ϑ< 1 sowie \begin{eqnarray}\left\| {T\,:\,{X_\vartheta }\, \to \,{Y_\vartheta }} \right\|\, \leqslant \,M_0^{1 – \vartheta }\,M_1^\vartheta \,.\,\end{eqnarray}

Es ist also (X_ϑ, Y_ϑ) ein exaktes Interpolationspaar im Sinn der Interpolationstheorie.

Ist X₀ = L^p₀ und X₁ = L^p₁, so stellt sich X_ϑ = L^p für \begin{eqnarray}1/p\, = \,({1\, – \,\vartheta })\,/\,{p_0}\, + \,\vartheta /\,{p_1}\end{eqnarray} heraus; genauso hat man für die Interpolation der Schatten-von Neumann-Klassen [c_p0, c_p1]_ϑ = c_p mit p wie oben. Für die Sobolew-Räume erhält man im Fall m₀ ≠ m₁, 1 < p₀, p₁< ∞ Räume gebrochener Glattheitsordnung, nämlich \begin{eqnarray}\left[ {{W^{{m_0},{p_0}}}\,,\,{W^{{m_1}\,,{p_1}}}} \right]\vartheta \, = \,{W^{p,\,s}}\end{eqnarray}

für obiges p und s = (1 − ϑ)m₀ + ϑm₁.

Interpretiert man (1) im Kontext der L^p-Räume, erkennt man, daß die komplexe Interpolations-methode eine abstrakte Version des Interpolations-satzes von Riesz-Thorin liefert.

Eine wichtige Eigenschaft der komplexen Interpolationsmethode ist die Reiterationseigenschaft \begin{eqnarray}{\left[ {{X_{{\vartheta _0}}},{X_{{\vartheta _1}}}} \right]_\vartheta } = {X_{{\vartheta}^\prime}}\end{eqnarray}

für ϑ′ = (1 − ϑ)ϑ₀ + ϑϑ₁, falls X₀ ∩ X₁ dicht in X₀, X₁ und X_ϑ0 ∩ X_ϑ1 liegt.

[1] Bergh, J.; Löfström, J.: Interpolation Spaces. Springer Berlin/Heidelberg/New York, 1976.