Lexikon der Mathematik: komplexe Transformationsgruppe
wichtiger Begriff für die Theorie komplexer Räume.
Ist X ein komplexer Raum und G eine Untergruppe der Automorphismengruppe
dann nennt man G eine Transformationsgruppe von X. Eine Transformationsgruppe G auf dem komplexen Raum X operiert
i) frei, wenn außer idX kein Element g ∈ G einen Fixpunkt in G besitzt, und
ii) eigentlich diskontinuierlich, wenn es für jede kompakte Menge K ⊂ X nur endlich viele g ∈ G gibt, so daß K ∩ g (K) ≠ ∅.
Wenn G eine Transformationsgruppe auf einem komplexen Raum X ist, dann wird durch
eine Äquivalenzrelation RG auf X bestimmt, deren Äquivalenzklassen die Orbits G (x) := {gx; g ∈ G} bezüglich G sind. Der Quotientenraum X/RG heißt Orbitraum. Für einen reduzierten komplexen Raum X schreibt man auch X/G. Es gilt folgender Satz.
Sei X eine komplexer Raum und G ⊂ Aut (X) eine Untergruppe. Wenn G endlich ist, oder wenn X reduziert ist, und G eigentlich diskontinuierlich auf X operiert, dann ist der geringte Raum X/RG ein komplexer Raum.
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