Verfahren zur Konstruktion eines komplexen Vektorraumes V_ℂ aus einem gegebenen reellen Vektorraum V. Dabei wird in kanonischer Weise – wie bei der axiomatischen Einführung von ℂ – die Menge V_ℂ := V × V eingeführt mit den Operationen \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}+: & {V}_{{\mathbb{C}}}\times {V}_{{\mathbb{C}}} & \to & {V}_{{\mathbb{C}}}\\ & (({u}_{1},{v}_{1}),({u}_{2},{v}_{2})) & \mapsto & ({u}_{1}+{v}_{1},{u}_{2}+{v}_{2})\\ \because & {\mathbb{C}}\times {V}_{{\mathbb{C}}} & \to & {V}_{{\mathbb{C}}}\\ & ((\alpha +i\beta ),(u,v)) & \mapsto & (\alpha u-\beta v,\beta u+\alpha v).\end{array}\end{eqnarray}

+ definiert die Addition, · die Skalarenmutliplikation, wobei wir Elemente in ℂ bereits in der Form \begin{eqnarray}\text{Realteil}+i\ \text{Imagin}\mathrm{\ddot{a}}\text{rteil}\end{eqnarray}

geschrieben haben. Dazu analog hat man folgende Schreibweise, wobei u ∈ V als Realteil und v ∈ V als Imaginärteil bezeichnet werden: u + iv ∈ V_ℂ. Damit kann man schreiben: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}({u}_{1}+i{v}_{1})+({u}_{2}+i{v}_{2})=({u}_{1}+{v}_{1})+i({u}_{2}+{v}_{2})\\ (\alpha +i\beta )\cdot (u+iv)=(\alpha u-\beta v)+i(\beta u+\alpha v).\end{array}\end{eqnarray}

Durch Komplexifizierung lassen sich oftmals Probleme im reellen Vektorraum auf leichter hand-habbare im Komplexen zurückführen, wo z. B. der Fundamentalsatz der Algebra eine Zerlegung jedes Polynoms in Linearfaktoren erlaubt. Die erzielten Resultate in V_C lassen sich dann durch Realisierung auf den ursprünglichen, reellen Fall zurückführen.