Lexikon der Mathematik: Konfidenzintervall für den Erwartungswert der Normalverteilung
eine spezielle Bereichsschätzung.
Sei X eine normalverteilte Zufallsgröße mit unbekanntem Erwartungswert EX := μ und unbekannter Varianz Var(X) := σ2. Sei X1, …, Xn eine Stichprobe von X, auf deren Basis das Stichprobenmittel (empirischer Mittelwert)
und die Stichprobenvarianz (empirische Streuung)
berechnet werden. Sei weiterhin
das \((1-\frac{\alpha }{2})\) −Quantil der t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden. Da die Größe
eine t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden besitzt, folgt sofort:
Folglich ist das Intervall
eine Konfidenzschätzung bzw. ein Konfidenzintervall für μ zur Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α. Ist die Varianz σ2 von X bekannt, so wird im Intervall (2) das t-Quantil \({t}_{n-1}(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})\) durch das \((1-{\scriptstyle \frac{(\alpha )}{2}})\) -Quantil \(u(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})\) der Standardnormalverteilung ersetzt:
Für dieses Intervall ergibt sich die Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α analog zur obigen Ableitung unter Berücksichtigung der Tatsache, daß die Größe
eine Standardnormalverteilung besitzt.
Besitzt X keine Normalverteilung, so besitzen die in (1) und (4) definierten Größen die t-bzw. Standardnormalverteilung nur asymptotisch für n → ∞. Die angegebenen Intervalle in (2) und (3) erreichen die Überdeckungswahrscheinlichkeit 1 − α dann auch nur asymptotisch für n → ∞ und können nur bei hinreichend großem Stichprobenumfang n verwendet werden.
Ein Beispiel. Es wurden 12 Versuchsflächen mit einer neuen Weizensorte bestellt. Diese Versuchsflächen brachten folgende Hektarerträge:
35,6; 33,7; 37,8; 31,2; 37,2; 34,1; 35,8; 36,6; 37,1; 34,9; 35,6; 34,0.
Erfahrungen zeigen, daß die Zufallsgröße X =, zufälliger Hektarertrag’ gewöhnlich als normalverteilt angesehen werden kann. Für den Erwartungswert μ des Hektarertrages soll mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 0.05 ein Konfidenzintervall ermittelt werden. Da die Varianz σ2 unbekannt ist, wird sie aus der Stichprobe durch s2 geschätzt. Man erhält
Für das Quantil \({t}_{n-1}(1-{\scriptstyle \frac{\alpha }{2}})={t}_{11}(0.975)\) der t-Verteilung liest man aus einer entsprechenden Tabelle den Wert ab:
Damit lautet das konkrete Konfidenzintervall für μ:
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