Lexikon der Mathematik: konfluente hypergeometrische Funktion
Lösung der konfluenten hypergeometrischen Differential-gleichung in z,
mit a, c ∈ ℂ. Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist durch die Kummer-Funktion M(a, c, z) gegeben:
Dabei ist (a)n das Pochhammer-Symbol, definiert durch
Andere Notationen für die Kummer-Funktion sind Φ(a, c; z) oder auch 1F1(a, c; z). Letzteres ist die Kummer-Funktion in der Notation der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen.
Die Kummer-Funktion ist eine ganze Funktion in z, und für festes z auch ganz in a. Betrachtet man M(a, ·, z) als Funktion von c, so erhält man eine meromorphe Funktion mit möglichen Polen bei −c ∈ ℕ0; hingegen ist M(a, c,z)Γ(c) wiederum ganz in c.
Für c / ∈ ℤ ist eine weitere linear unabhängige Lö-sung der hypergeometrischen Differentialgleichung gegeben durch
Weiterhin ist noch die folgende Linearkombination beider Lösungen gebräuchlich
sowie die Abkürzungen
Die folgenden acht Lösungen der konfluenten hypergeometrischen Differentialgleichung fassen die gebräuchlichsten hypergeometrischen Funktionen zusammen:
Um festzustellen, welche der Lösungen linear unabhängig sind, benötigt man die folgenden WronskiDeterminanten:
Dabei ist ϵ = 1 für Im z > 0 und ϵ = −1 für Im z ≤ 0.
Eliminiert man den Term erster Ordnung aus der konfluenten hypergeometrischen Differential-gleichung, so entsteht die Whittaker-Differential-gleichung
mit den Standard-Lösungen
und
den sog. Whittaker-Funktionen. Beides sind mehrdeutige Funktionen mit je einem Verzweigungspunkt am Ursprung; den Hauptzweig dieser Funk-tionen definiert man dann durch Aufschneiden der komplexen Ebene längst der negativen reellen Achse.
Die folgenden Kummer-Transformationen verknüpfen die Lösungen zu verschiedenen Argumenten a und c miteinander:
Diese Funktionen sind im Falle Re c > Re a > 0 auch durch Integrale darstellbar, hier eine Aus-wahl:
Es gibt eine ganze Reihe von Rekursionsrelationen für die Kummerfunktion. Hier wieder nur eine kleine Auswahl, eine vollständigere Liste findet sich in der Literatur, z. B. [1]:
sowie Relationen zwischen M und seinen Ableitungen nach z:
Einige Relationen der Kummer-Funktionen zu anderen speziellen Funktionen zeigt die Tabelle.
[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Buchholz, H.: Die konfluente hypergeometrische Funktion. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1953.
[3] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.
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