Lexikon der Mathematik: Kongruenz-ζ-Funktion
eine starke Verallgemeinerung der Riemannschen ζ -Funktion.
Ist X ein algebraisches Schema über einem endlichen Körper 𝔽q = k mit q Elementen, so sei Nn die Anzahl der Punkte in \(X({\mathbb{F}}_{{q}^{n}})\), und Z(X, t) die formale Potenzreihe mit Z(0) = 1 und
Dies ist eine rationale Funktion, beispielsweise ist
oder
Ist x abgeschlossener Punkt von X mit k(x) = 𝒪X,x/𝔪X,x und [k(x) : k] = d, und m durch d teilbar, so gibt es genau d Punkte in X(𝔽qm), die über x liegen entsprechend den d Einbettungen k(x) → 𝔽qm über k. Daher ist \(\frac{1}{1-{t}^{d}}\) der Beitrag von x zur ζ-Funktion, und es ist
Ist \({Z}_{0}^{+}(X)\) die Mengen aller nicht-negativen algebraischen Zyklen der Dimension 0 auf X, so ist also
(wenn z = Σnjxj, so ist deg(z) = Σnj[k(xj) : k]). Führt man eine neue Variable s durch t = q−
dabei ist N(x) die Anzahl der Elemente von k(x), und \(N(z)={\Pi }_{j}N{({x}_{j})}^{{n}_{j}}\) für z = Σnjxj. Insofern ist die Kongruenz-ζ-Funktion Spezialfall folgender ζ-Funktionen: Wenn X algebraisches Schema über ℤ ist, so ist für jeden abgeschlossenen Punkt x ∈ X der Restklassenkörper endlich, und damit N(x) und N(z) für \(z\in {Z}_{0}^{+}(X)\) wie oben definiert. Die zu X gehörige ζ -Funktion ist
(die beiden Ausdrücke sind konvergent für Re(s) > dim X). Für X = Spec (ℤ) ist dies die Riemannsche ζ-Funktion.
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