Lexikon der Mathematik: konjugiert komplexe Zahl
die zu einer komplexen Zahlz = x + iy definierte komplexe Zahl \(\bar{z}:=x-iy\). Man nennt \(\bar{z}\) auch die zu z gespiegelte Zahl, da sie geometrisch durch Spiegelung von z an der reellen Achse entsteht.
Es gelten folgende Rechenregeln:
Die Abbildung ¯ : ℂ → ℂ, \(z\mapsto \bar{z}\) nennt man Konjugation. Sie ist auf Grund der obigen Rechenregeln ein involutorischer Körperautomorphismus mit dem Fixkörper ℝ, d. h. sie ist zu sich selbst invers, und es gilt \(\bar{x}\) = x für alle x ∈ ℝ.
Man kann zeigen: Ist φ : ℂ → ℂ ein Körperautomorphismus mit ℝ als Fixkörper, so gilt entweder ϕ(z) = z für alle z ∈ ℂ oder \(\phi (z) = \bar z\) für alle z ∈ ℂ.
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