Permanenzprinzip, klassisches Postulat der algebraischen Geometrie. Es besagt, daß die geometrische Natur eines Nullstellengebildes V ({f_i}) bei Variation der Koeffizienten seiner definierenden Polynome f_i „fast immer“ dieselbe ist. An dem folgenden Beispiel soll dies erläutert werden:

Für ε ∈ ℝ\{0} betrachtet man die algebraische Menge (Nullstellengebilde) \({X}^{(\varepsilon )}:=V({z}_{1}^{2}+{z}_{2}^{2}-\varepsilon )\) in ℂ² und das entsprechende reelle Nullstellengebilde \({X}_{{\mathbb{R}}}^{(\varepsilon )}:={X}^{(\varepsilon )}\cap {{\mathbb{R}}}^{2}.{X}_{{\mathbb{R}}}^{(\varepsilon )}\) versteht man einfach, denn es gilt \begin{eqnarray}{X}_{{\mathbb{R}}}^{(\varepsilon )}=\left\{\begin{array}{ll}\text{Kreis mit Radius}\sqrt{\varepsilon } & \text{falls}\space \varepsilon \gt 0\\ \varnothing, & \text{falls}\space\varepsilon \lt 0.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Um sich auch ein geometrisches Bild von X^(ε) zu machen, identifiziert man ℂ² mit ℝ⁴ (d. h., (z₁, z₂) ∈ ℂ² wird identifiziert mit (x₁, x₂, y₁, y₂) ∈ ℝ⁴) und faßt X^(ε) als Menge im ℝ⁴ auf. Außerdem konstruiert man einen Homöomorphismus \begin{eqnarray}{\varphi }^{(\varepsilon )}:{X}^{(\varepsilon )}\underrightarrow{\approx }{H}^{(\varepsilon )}\subseteq {{\mathbb{R}}}^{3}\end{eqnarray}

von X^(ε) auf eine einfache Fläche im ℝ³. \begin{eqnarray}{H}^{(\varepsilon )}=\{(u,v,w)\in {{\mathbb{R}}}^{3}|{u}^{2}+{v}^{2}-{w}^{2}-|\varepsilon |=0\}\end{eqnarray}

entsteht, indem man die in der (u, w)-Ebene liegende Hyperbel u² − w² − |ε| = 0 um die w-Achse rotieren läßt, ist also ein einschaliges Rotationshyperboloid, dessen Achse die w-Achse ist. H^(ε) ist also ein topologisch treues Bild von X^(ε). Da für ε > 0 offenbar H^(ε) = H^(−ε) ist, sind also X^(ε) und X^(−ε) homöomorph, obwohl es \({X}_{{\mathbb{R}}}^{(\varepsilon )}\) und \({X}_{{\mathbb{R}}}^{(-\varepsilon )}\) nicht sind.

Für beliebige ϵ ∈ ℂ \{0}, und δ ∈ ℂ so, daß δ² = ε, ist die Abbildung σ : ℂ² → ℂ², (z₁, z₂) ↦ (δz₁, δz₂) ein Homöomorphismus. Daher ist X^(ε) für alle ε ∈ ℂ \{0} zu X⁽¹⁾ homöomorph, hat also „für fast alle ϵ “ die topologische Gestalt von H⁽¹⁾, und damit ist das Kontinuitätsprinzip erfüllt.

Daß sich die geometrische Natur eines Nullstellengebildes bei Variation der Koeffizienten ändern kann, sieht man nun leicht, wenn man X^(ε) für ε = 0 betrachtet. Wegen \(z\frac{2}{1}+z\frac{2}{2}=({z}_{1}+i{z}_{2})({z}_{1}-i{z}_{2})\) gilt nämlich \begin{eqnarray}{X}^{(0)}=V(z\begin{array}{c} 2\\1 \end{array}+z\begin{array}{c} 2\\2 \end{array})=V({z}_{1}+i{z}_{2})\cup V({z}_{1}-i{z}_{2}).\end{eqnarray}

In ℝ⁴ betrachtet sind V(z₁ + iz₂) und V(z₁ − iz₂) Ebenen, die sich genau im Ursprung treffen. X⁽⁰⁾ entspricht also topologisch der Vereinigung zweier sich transversal schneidender Ebenen, ist also sicher nicht zu H⁽¹⁾ homöomorph.