Lexikon der Mathematik: Korowkin, Satz von
Aussage über die Konvergenz von Folgen von montonen linearen Operatoren.
Es sei C[a, b] der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf [a, b] und ∥.∥∞ die Maximumnorm. Ein Operator H : C[a, b] ↦ C[a, b], heißt monoton, falls aus f(x) ≤ g(x), x ∈ [a, b], die Relation
folgt. Ein Operator H : C[a, b] ↦ C[a, b], heißt linear, falls für alle f, g ∈ C[a, b] und α, β ∈ ℝ
gilt.
Der folgende Satz über die Konvergenz von Folgen von solchen Operatoren wurde von P.P. Korowkin 1960 formuliert.
Es sei Hn : C[a, b] ↦ C[a, b], n ∈ N, eine Folge von linearen, monotonen Operatoren mit der Eigenschaft
Dann gilt:
Beispielsweise sind die Bernstein-Operatoren Bn : C[0, 1] ↦ C[0, 1], n ∈ N, definiert durch
monoton und linear. Man kann leicht nachprüfen, daß die Beziehungen Bn(1) = 1, Bn(x) = x und \({B}_{n}({x}^{2})={x}^{2}+{\scriptstyle \frac{x-{x}^{2}}{n}}\) gelten. Damit folgt aus dem Satz von Korowkin der Weierstraßsche Approximationssatz.
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