Tensoren, deren Indizes alle in unterer Position stehen.

Der Gegensatz hierzu sind kontravariante Tensoren, das sind Tensoren, deren Indizes alle in oberer Postion stehen. Die Anzahl der Indizes wird auch als Stufe des Tensors bezeichnet.

In der Riemannschen Geometrie gibt es eine eineindeutige Beziehung zwischen kovarianten und kontravarianten Tensoren gleicher Stufe: Ist g_ij der metrische Tensor, so ist v_i = g_ij v^j der dem kontravarianten Tensor erster Stufe v^j zugeordnete kovariante Tensor. Zur Berechnung der kovarianten Ableitung werden die Christoffelsymbole benötigt. Sie sind aus der Bedingung, daß der metrische Tensor kovariant konstant sein soll, eindeutig bestimmt. In Formeln: ∇_kg_ij = 0 impliziert \begin{eqnarray}{\Gamma }_{jk}^{i}=\frac{1}{2}{g}^{il}({\partial }_{k}{g}_{lj}-{\partial }_{l}{g}_{jk}+{\partial }_{j}{g}_{kl}),\end{eqnarray}

dabei ist g^il die inverse Matrix zur Matrix des metrischen Tensors.

Die Definition eines Tensors ergibt sich aus seinem Verhalten bei Koordinatentransformationen: Lauten die Komponenten eines Vektors in den Koordinaten x^a ausgedrückt v^a, in den Koordinaten yⁱ dagegen vⁱ, so handelt es sich dabei genau dann um einen Tensor, wenn die Beziehung \begin{eqnarray}{v}^{a}=\frac{\partial {x}^{a}}{\partial {y}^{i}}{v}^{i}\end{eqnarray}

gilt.

[1] Schouten, J.: Ricci-Calculus. Springer-Verlag Berlin/Heidelberg, 1954.