Verfahren der Intervallrechnung zum Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit bzw. der Nichtexistenz einer Nullstelle x^∗ in einem Intervallvektorx⁽⁰⁾ ⊆ D bei einer stetig differenzierbaren Funktion f : D ⊆ ℝⁿ → ℝⁿ.

Ist f′(x) die Intervallauswertung der Funktionalmatrix f ′ von f über x ⊆ x⁽⁰⁾, C eine reelle (n × n)-Matrix und \(\tilde{x}\in \bf x\) so heißt \begin{eqnarray}{\bf K}(\tilde{x},{\bf x})=\tilde{x}-Cf(\tilde{x})+(I-C{\bf f}^{\prime}({\bf x}))({\bf x}-\tilde{x})\end{eqnarray}

Krawczyk-Operator, und die Iteration \begin{eqnarray}{\bf x}^{(k+1)}={\bf K}({\tilde{x}}^{(k)},{\bf x}^{(k)})\cap {\bf x}^{(k)},k=0,1,\ldots,\end{eqnarray}

Krawczyk-Verfahren. Dabei ist das Verfahren abzubrechen, wenn der Durchschnitt leer ist. Häufig wählt man \(\tilde{x}\) als Mittelpunkt von x und C als Näherungsinverse des Mittelpunkts von f′(x). Für ein IntervallgleichungssystemAx = b definiert man \begin{eqnarray}{\bf K}(\tilde{x},{\bf x})=\tilde{x}-C({\bf b}-{\bf A}\tilde{x})+(I-C{\bf A})({\bf x}-\tilde{x})\end{eqnarray}

und iteriert analog.

Bezeichnen ϱ(·) den Spektralradius und |·| den Betrag Einer Intervallgröße, so kann man mit der Beziehung B =|I − Cf′(x⁽⁰⁾)| folgende Aussagen beweisen:

1. a) Gilt \({\bf K}(\tilde{x},{\bf x})\subseteq \bf x\)für einx ⊆ x⁽⁰⁾, und ist C regulär, so besitzt f inxmindestens eine Nullstelle.
2. b) Gilt \(({\bf K}(\tilde{x},{\bf x}))_i \subset {\bf x}_i\), i = 1, …, n, für einx = (x_i) ⊆ x⁽⁰⁾, so besitzt f inxeine Nullstelle, die inx⁽⁰⁾eindeutig ist, und es folgt ϱ(B) < 1.
3. c) Wird der Durchschnitt in (1) nach endlich vielen Schritten leer, so besitzt f inx⁽⁰⁾keine Nullstelle. Falls ϱ(B) < 1 ist, und \({\tilde{\bf x}}^{(k)}\)den Mittelpunkt vonx^(k)bezeichnet, folgt auch die Umkehrung.
4. d) Gilt ϱ(B) < 1, und besitzt f inx(0) eine Nullstelle x^∗, so ist diese dort eindeutig, der Durchschnitt in (1) wird nie leer, die Iteriertenx^(k)sind für jedes k ∈ ℕ₀definiert und konvergieren bzgl. desHausdorff-Abstands q gegen x^∗, sofern man für \({\tilde{x}}^{(k)}\)den Mittelpunkt vonx^(k)wählt.

Man beachte, daß aus ϱ(B) < 1 stets die Regularität von C und f′(x) folgt.